52 carte

[Dani92]

Il mio problema è il seguente:

Qual'è il numero minimo di carte che bisogna pescare da un ordinario mazzo di 52 carte per avere almeno il 50% di possibilità di estrarre una o più carte di cuori?

Beh mi rendo conto che è molto semplice ma son riuscito ugualmente a farmi venire dei dubbi: posso risolverlo contando i casi sfavorevoli e rispondere 3, oppure ragionare chiamando n il numero che cerchiamo, i casi totali sono 4n (una pescata può dare 4 tipi di seme) mentre i casi favorevoli sono 4(n-1) perchè fissato un cuore, le altre carte le possono essere di qualunque seme. in questo caso la risposta però sarebbe 2!!

Chiaramente uno dei 2 approcci è sbagliato, e presumo il secondo, ma non riesco a spiegarmi il motivo...

Grazie in anticipo a chi mi aiuterà!

[Dani92]

38 consultazioni e 0 risposte.... Mi tocca andare a dormire col dubbio?

[Tibor Gallai]

La risposta è 3, che ti dà un po' meno del 59% di probabilità di successo.
Quindi il tuo 2° metodo è sicuramente errato, e leggendolo mi dà un'idea di qualcosa di... uhm, poco ortodosso.
Il 1° metodo potrebbe essere corretto come completamente cannato, ma non capisco perché lo esponi in mezza riga.

[Dani92]

conto i casi sfavorevoli: $ \frac{1}{4}*\frac{38}{51} $ > 1/2 quindi due non bastano
$ \frac{1}{4}*\frac{38}{51} *\frac{37}{50} $ < 1/2 quindi 3 sono sufficienti

Comunque correggo la mia demo che non va con una che va ancora peggio:
I casi favorevoli non sono 4(n-1) bensì $ 4^{n-1} $ e i casi totali $ 4^n $, il che genera un assurdo...

[Maioc92]

credo che ci debba essere 3/4 e non 1/4 in quello che hai scritto. Comunque si, mi pare giusto, infatti detto più formalmente la probabilità che pescando n carte non vi siano cuori è di $ \displaystyle\frac{39!(52-n)!}{(39-n)!52!} $, ed è la probabilità contraria. Per cui basta porla minore di $ \frac 1 2 $ e in effetti si trova $ n\ge 3 $. Per cui il metodo errato è sicuramente il secondo.

[Maioc92]

EDIT:qui giaceva una marea di cazzate. Fate riferimento al messaggio sotto a questo per favore e lasciatemi perdere

[Tibor Gallai]

Dani92: il 2° metodo non funge perché quando definisci un insieme di "casi possibili", vorresti anche che siano equiprobabili. Nel tuo caso non lo sono (esempio: estrarre 2 picche su 2 estrazioni è meno probabile che estrarre una picca e un fiore), quindi non puoi calcolarci sopra delle probabilità come casi favorevoli/casi possibili.

[Dani92]

Si lo pensavo anch'io... Però questo è intuitivo se pesco e guardo una carta alla volta, un po meno se le estraggo tutte assieme... Sbaglio?

[Tibor Gallai]

Un modo per salvare l'intuizione, pur senza fare un'estrazione alla volta, è numerare le carte da 1 a 52, affinché gli esiti possibili non si riducano a 4, nascondendoti quello che succede veramente alle singole carte...
Adesso hai degli eventi "elementari" che sono equiprobabili: scegliere la carta 1 e la carta 2 è equiprobabile a scegliere la carta 20 e la carta 37, etc.
Poi aggreghi questi eventi elementari rispetto al seme, e componi gli eventi interessanti. Allora l'evento "2 carte di picche" è composto da 12*11 eventini, mentre l'evento "1 picche e 1 fiori" è composto da 12*12 eventini: quindi è più probabile il 2°.

[Dani92]

Ottimo!!! Questo è molto chiaro, grazie davvero!