a^(b+c)=bc^b, allora a=c
a^(b+c)=bc^b, allora a=c
Siano $ a,b,c $ interi positivi tali che $ a^{b+c}=bc^b $. Mostrare che $ a=c $.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Lemma. Se $ \displaystyle~x,y\in\mathbb{N} $ e $ \displaystyle~x\ge 2 $ vale $ \displaystyle~x^y\ge y+1 $
Segue direttamente dalla disuguaglianza di Bernoulli.
Corollario. Vale $ \displaystyle~x\ge\upsilon_p(x)+1 $ per ogni $ \displaystyle~x\in\mathbb{N}_0 $ e p primo.
Se $ \displaystyle~a>c $ allora $ \displaystyle~\frac{b}{a^c}=\left(\frac{a}{c}\right)^b=\left(1+\frac{a-c}{c}\right)^b\ge 1+\frac{b(a-c)}{c} $ (disuguaglianza di Bernoulli) $ \displaystyle~>\frac{b}{c}>\frac{b}{a^c} $ (v. lemma). Quindi $ \displaystyle~a\le c $.
Poniamo $ \displaystyle~m=(b,c) $ e $ \displaystyle~c=mu $
Consideriamo un qualsiasi primo $ \displaystyle~p $:
Analizzando le valutazioni $ \displaystyle~p $-adiche di ambo i membri:
$ \displaystyle~(b+c)\upsilon_p(a)=\upsilon_p(b)+b\upsilon_p(c)~(*) $
da cui $ \displaystyle~m\mid \upsilon_p(b)~(**) $.
Ora consideriamo invece un primo $ \displaystyle~p:p\mid c $, distinguendo due casi.
Supponiamo $ \displaystyle~p\mid m $ e quindi $ \displaystyle~\upsilon_p(b)>0 $. Allora $ \displaystyle~\upsilon_p(m)\le\upsilon_p(\upsilon_p(b))<\upsilon_p(b) $ (v. Corollario).
Dunque $ \displaystyle~\upsilon_p(m)=\upsilon_p(c) $. Segue che $ \displaystyle~(b,u)=(m,u)=1 $.
Invece se $ \displaystyle~p\mid u $ per l'ultima relazione $ \displaystyle~\upsilon_p(b)=0 $ e dalla $ \displaystyle~(*) $ otteniamo $ \displaystyle~b+c\mid b\upsilon_p(c)=b\upsilon_p(u) $. Essendo $ \displaystyle~(b+c,b)=(c,b)=m $ l'ultima relazione diviene $ \displaystyle~\frac{b}{m}+u\mid\upsilon_p(u) $, da cui $ \displaystyle~\frac{b}{m}+u\le\upsilon_p(u)<u $ (Corollario), assurdo. Ciò significa che $ \displaystyle~u $ non ha divisori primi, cioè $ \displaystyle~u=1 $.
Riassumendo, per ogni primo $ \displaystyle~p:p\mid c $ $ \displaystyle~\upsilon_p(m)=\upsilon_p(c) $, quindi $ \displaystyle~m=c $.
Dalla $ \displaystyle~(**) $ notiamo che $ \displaystyle~\exists t:b=t^c $.
L'equazione del testo si può riscrivere come
$ \displaystyle~\left(\frac{c}{a}\right)^{t^c}=\left(\frac{a}{t}\right)^c $
da cui, essendo $ \displaystyle~LHS\ge 1 $, $ \displaystyle~t\le a $.
La $ \displaystyle~(*) $ si riduce a
$ \displaystyle~(t^c+c)\upsilon_p(a)=c\upsilon_p(t)+t^c\upsilon_p(c)~\forall p $ primo
Supponiamo che $ \displaystyle~\exists p:\upsilon_p(a)\neq\upsilon_p(c) $
$ \displaystyle~t^c\le t^c|\upsilon_p(c)-\upsilon_p(a)|=c|\upsilon_p(a)-\upsilon_p(t)| $$ \displaystyle~\le c(\upsilon_p(a)+\upsilon_p(t))<c(a+t)\le 2ac\le 2c^2 $ (Corollario)
Se $ \displaystyle~t\ge 3 $ si verifica facilmente applicando il principio di induzione che $ \displaystyle~t^c\ge 2c^2 $, assurdo. Quindi $ \displaystyle~t=1 $ (da cui $ \displaystyle~a^{1+c}=c $, cioè $ \displaystyle~a=c=1 $ per via del Lemma, assurdo) o $ \displaystyle~t=2 $. Anche in quest'ultimo caso osserviamo che per $ \displaystyle~c\ge 7 $ $ \displaystyle~2^c\ge 2c^2 $. Dall'analisi dei 6 casi rimanenti $ \displaystyle~a=2 $, assurdo.
Quindi $ \displaystyle~\upsilon_p(a)=\upsilon_p(c)~\forall p $, cioè $ \displaystyle~a=c $.
Segue direttamente dalla disuguaglianza di Bernoulli.
Corollario. Vale $ \displaystyle~x\ge\upsilon_p(x)+1 $ per ogni $ \displaystyle~x\in\mathbb{N}_0 $ e p primo.
Se $ \displaystyle~a>c $ allora $ \displaystyle~\frac{b}{a^c}=\left(\frac{a}{c}\right)^b=\left(1+\frac{a-c}{c}\right)^b\ge 1+\frac{b(a-c)}{c} $ (disuguaglianza di Bernoulli) $ \displaystyle~>\frac{b}{c}>\frac{b}{a^c} $ (v. lemma). Quindi $ \displaystyle~a\le c $.
Poniamo $ \displaystyle~m=(b,c) $ e $ \displaystyle~c=mu $
Consideriamo un qualsiasi primo $ \displaystyle~p $:
Analizzando le valutazioni $ \displaystyle~p $-adiche di ambo i membri:
$ \displaystyle~(b+c)\upsilon_p(a)=\upsilon_p(b)+b\upsilon_p(c)~(*) $
da cui $ \displaystyle~m\mid \upsilon_p(b)~(**) $.
Ora consideriamo invece un primo $ \displaystyle~p:p\mid c $, distinguendo due casi.
Supponiamo $ \displaystyle~p\mid m $ e quindi $ \displaystyle~\upsilon_p(b)>0 $. Allora $ \displaystyle~\upsilon_p(m)\le\upsilon_p(\upsilon_p(b))<\upsilon_p(b) $ (v. Corollario).
Dunque $ \displaystyle~\upsilon_p(m)=\upsilon_p(c) $. Segue che $ \displaystyle~(b,u)=(m,u)=1 $.
Invece se $ \displaystyle~p\mid u $ per l'ultima relazione $ \displaystyle~\upsilon_p(b)=0 $ e dalla $ \displaystyle~(*) $ otteniamo $ \displaystyle~b+c\mid b\upsilon_p(c)=b\upsilon_p(u) $. Essendo $ \displaystyle~(b+c,b)=(c,b)=m $ l'ultima relazione diviene $ \displaystyle~\frac{b}{m}+u\mid\upsilon_p(u) $, da cui $ \displaystyle~\frac{b}{m}+u\le\upsilon_p(u)<u $ (Corollario), assurdo. Ciò significa che $ \displaystyle~u $ non ha divisori primi, cioè $ \displaystyle~u=1 $.
Riassumendo, per ogni primo $ \displaystyle~p:p\mid c $ $ \displaystyle~\upsilon_p(m)=\upsilon_p(c) $, quindi $ \displaystyle~m=c $.
Dalla $ \displaystyle~(**) $ notiamo che $ \displaystyle~\exists t:b=t^c $.
L'equazione del testo si può riscrivere come
$ \displaystyle~\left(\frac{c}{a}\right)^{t^c}=\left(\frac{a}{t}\right)^c $
da cui, essendo $ \displaystyle~LHS\ge 1 $, $ \displaystyle~t\le a $.
La $ \displaystyle~(*) $ si riduce a
$ \displaystyle~(t^c+c)\upsilon_p(a)=c\upsilon_p(t)+t^c\upsilon_p(c)~\forall p $ primo
Supponiamo che $ \displaystyle~\exists p:\upsilon_p(a)\neq\upsilon_p(c) $
$ \displaystyle~t^c\le t^c|\upsilon_p(c)-\upsilon_p(a)|=c|\upsilon_p(a)-\upsilon_p(t)| $$ \displaystyle~\le c(\upsilon_p(a)+\upsilon_p(t))<c(a+t)\le 2ac\le 2c^2 $ (Corollario)
Se $ \displaystyle~t\ge 3 $ si verifica facilmente applicando il principio di induzione che $ \displaystyle~t^c\ge 2c^2 $, assurdo. Quindi $ \displaystyle~t=1 $ (da cui $ \displaystyle~a^{1+c}=c $, cioè $ \displaystyle~a=c=1 $ per via del Lemma, assurdo) o $ \displaystyle~t=2 $. Anche in quest'ultimo caso osserviamo che per $ \displaystyle~c\ge 7 $ $ \displaystyle~2^c\ge 2c^2 $. Dall'analisi dei 6 casi rimanenti $ \displaystyle~a=2 $, assurdo.
Quindi $ \displaystyle~\upsilon_p(a)=\upsilon_p(c)~\forall p $, cioè $ \displaystyle~a=c $.
Viviamo intorno a un mare come rane intorno a uno stagno. (Socrate)