Flatlandia nel tempo

[karlosson_sul_tetto]

Per iniziare,uno facile:
Il paese di Flatlandia,è formato da figure regolari,cerchi e triangoli isosceli e regolari; da ogni coppia nascono sempre $ 2 $ babmini.
All'inizio tutti gli abitanti sono triangoli isosceli con l'angolo più piccolo di mezzo grado,ed ad ogni generazione, con probabilità di $ \frac{7}{8} $,l'angolo del figlio aumenta sempre di mezzo grado.Quando l'angolo diventa uguale a $ 60° $,la figura diventa un triangolo regolare;SOLOper i triangoli regolari vale la seguente regola:con $ \frac{1}{2} $ di probabilità la figura diventa un quadrato,con sempre $ \frac{1}{2} $ di probabilità il figlio resta un triangolo equilatero.Dal quadrato in poi,il figlio ha $ 1 $ lato in più rispetto al padre (es:$ 4 lati \to 5 lati \to 6 lati $ ecc.($ \to $ significa:"suo figlio ha...")).Quando una figura ha $ 1000 $ lati è considerata un cerchio.Con quale probabilità la metà della popolazione sarà composta da cerchi?
(Autore:io).

Poi ne metterò qualcun altro dello stesso tipo,mà un pò più difficile.

[thebon90]

domandina: le figure padri muoiono o meno?? perchè sono 2 situazioni molto diverse a considerarli tutti vivi oppure solo i figli...

[karlosson_sul_tetto]

domandina: le figure padri muoiono o meno?? perchè sono 2 situazioni molto diverse a considerarli tutti vivi oppure solo i figli...

Grazie,m'e n'ero dimentiato ; cmq per adesso conta che muoiono appena nascono i figli;se vuoi fai che vivono in eterno: per me fa lo stesso,basta che ci siano soluzioni del 1° e del 2° caso!

[thebon90]

EDIT: qui giacevano delle cavolate

1)una coppia di genitori come si forma? triangoli di angolo uguale oppure no?
2)se 1 triangolo ha un angolo di $ \displaystyle \frac{1}{100} $ di grado come può avere il suo n-esimo figlio 60 gradi aggiungendo via via solo $ \displaystyle \frac{1}{2} $ grado?

[karlosson_sul_tetto]

nel caso che restino tutti vivi è banalmente 0 la probabilità... credo che lo capisci il perchè...
per l'altro caso ho delle altre domande:
1)una coppia di genitori come si forma? triangoli di angolo uguale oppure no?
2)se 1 triangolo ha un angolo di $ \displaystyle \frac{1}{100} $ di grado come può avere il suo n-esimo figlio 60 gradi aggiungendo via via solo $ \displaystyle \frac{1}{2} $ grado?

1)Per adesso consideralo cosi.
2)Non è $ \frac{1}{100} $ l'angolo,ma $ \frac{1}{2} $ grado.

[thebon90]

All'inizio tutti gli abitanti sono triangoli isosceli con l'angolo più piccolo di mezzo grado

non so se capisci che questo passaggio può essere frainteso... ora ho capito..

[thebon90]

Alla lunga seguendo il criterio di evoluzione dei triangoli i discendenti possono essere considerati tutti equilateri... ora la probabilità che diventino quadrati, e quindi(dopo la 996-esima trasformazione) cerchi è uguale a $ \dispaystyle \frac{1}{2} $, quindi la metà di essi sarà cerchi...no?

[karlosson_sul_tetto]

Alla lunga seguendo il criterio di evoluzione dei triangoli i discendenti possono essere considerati tutti equilateri... ora la probabilità che diventino quadrati, e quindi(dopo la 996-esima trasformazione) cerchi è uguale a $ \dispaystyle \frac{1}{2} $, quindi la metà di essi sarà cerchi...no?

[...]ed ad ogni generazione, con probabilità di $ \frac{7}{8} $,l'angolo del figlio aumenta sempre di mezzo grado.[...]

Questo è uno;poi i figli che non sono diventati quadrati,non li consideri?

[thebon90]

il punto è che andando avanti all'infinito quell'ottavo tende ad azzerarsi...

[karlosson_sul_tetto]

il punto è che andando avanti all'infinito quell'ottavo tende ad azzerarsi...

Tende;poi,dalla metà che è rimasta triangolare non genera figli?

[Maioc92]

nel caso che restino tutti vivi è banalmente 0 la probabilità... credo che lo capisci il perchè...

a dire il vero io non lo capisco....potrebbe anche essere la stanchezza o la febbre, però potresti spiegarlo?

Comunque karlosson non te la prendere, ma quando inventi un problema cerca di farlo bene....in questo problema hai lasciato buchi e inesattezze ovunque,e questo non caratterizza certo un buon problema. Magari prova a leggere il problema dal punto di vista di un estraneo, e chiediti "si riesce a capire?"

[karlosson_sul_tetto]

nel caso che restino tutti vivi è banalmente 0 la probabilità... credo che lo capisci il perchè...

a dire il vero io non lo capisco....potrebbe anche essere la stanchezza o la febbre, però potresti spiegarlo?

Comunque karlosson non te la prendere, ma quando inventi un problema cerca di farlo bene....in questo problema hai lasciato buchi e inesattezze ovunque,e questo non caratterizza certo un buon problema. Magari prova a leggere il problema dal punto di vista di un estraneo, e chiediti "si riesce a capire?"

Non me la prendo,ma cmq credo che ho mancato qualcosa,come a giustamente detto thebon;adesso mi sono ricodato un'altro particolare:la figura è considerata un cerchio se ha $ 1000 $ o più lati.

[dario2994]

Avrei un dubbio probabilmente simile a quello di Maioc... espresso come è espresso (o come l'ho capito io) è banale dimostrare che si arriverà sempre a metà della popolazione (a dir la verità anche tutta) che è formata da cerchi... mi sa che però non ho capito bene il problema xD

[karlosson_sul_tetto]

Avrei un dubbio probabilmente simile a quello di Maioc... espresso come è espresso (o come l'ho capito io) è banale dimostrare che si arriverà sempre a metà della popolazione (a dir la verità anche tutta) che è formata da cerchi... mi sa che però non ho capito bene il problema xD

Mh,la prossima volta devo essere chiaro...
Cmq,cerco di riscriverlo:


Il paese di Flatlandia,è formato da figure regolari,cerchi e triangoli isosceli e regolari; da ogni coppia nascono sempre 2 babmini dopo aver creato i figli,i genitori muoiono.
All'inizio tutti gli abitanti sono triangoli isosceli con l'angolo più piccolo di mezzo grado,ed ad ogni generazione, con probabilità di $ \frac{7}{8} $,l'angolo del figlio aumenta sempre di mezzo grado.Quando l'angolo diventa uguale a 60°,la figura diventa un triangolo regolare;SOLO per i triangoli regolari vale la seguente regola:con $ \frac{1}{2} $ di probabilità la figura diventa un quadrato,con sempre $ \frac{1}{2} $ di probabilità il figlio resta un triangolo equilatero.Dal quadrato in poi,il figlio ha 1 lato in più rispetto al padre (es:4 lati \to 5 lati \to 6 lati ecc.(\to significa:"suo figlio ha...")).Quando una figura ha come minimo $ 1000 $ lati è considerata un cerchio.
Con quale probabilità al minimo la metà della popolazione sarà composta da cerchi?


Se i genitori non muoiono e in tutto il resto seguiamo le regole di sopra,arriviamo che ad un certo punto,come dice giustamente Federico, avremo che circa la metà sarà composa da cerchi.

[thebon90]

@maioc: ok... ripensandoci ho toppato..

comunque anche con il problema riformulato a me sembra che la soluzione non cambi.. cioè, se non si considerano n generazioni di figure, e si lasciano invece all'infinito, la tesi risulta comunque vera per forza..