Own. Sia $ \omega(n):=|\{p \in \mathbb{P}:p \mid n\}| $ per ogni $ n \in \mathbb{N}_0 $, e sia data una sequenza strettamente crescente di interi positivi $ \{a_i\}_{i \in \mathbb{N}} $ tale che, per qualche coppia di interi positivi $ (x,y) $ vale $ a_n \le nx+y $ definitivamente.
Mostrare che $ \displaystyle \omega\left(\prod_{i \in \mathbb{N}}{a_i}\right)=+\infty $.
sequenza strettamente crescente con infiniti fattori primi
sequenza strettamente crescente con infiniti fattori primi
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Che bello riuscire a risolvere un problema di jordan!
Supponiamo per assurdo che basti un insieme finito S di k numeri primi $ p_1, \cdots, p_k $, con k naturale, per generare tutti gli elementi della successione. Allora necessariamente S non è vuoto, altrimenti potremmo generare solo il numero 1. Diciamo che un naturale è n-utile se è minore di nx+y ed è divisibile solo per primi appartenenti a S. Sia ora $ p_1 $ il più piccolo primo contenuto in S; evidentemente un numero n-utile è il prodotto di al più $ [\log_{p_1} (nx+y) ] $, dove le parentesi quadre indicano la parte intera; poniamo$ l_n=[\log_p (nx+y)] $. A questo punto definiamo una funzione $ f $ dall'insieme A dei numeri n-utili all'insieme B delle (k+1)-uple ordinate di naturali con somma $ l_n $ in modo che il numero n-utile $ a=p_1^{\alpha_1}\cdot \cdots\cdot p_k^{\alpha_k} $ sia associato alla (k+1)-upla $ (\alpha_1;\cdots;\alpha_k; l_n-\sum_{i=1}^k\alpha_i) $. Fondamentalmente stiamo associando a ogni numero n-utile il vettore le cui componenti sono le valutazioni $ p_i $-adiche del numero stesso e per ultima la potenza di uno per cui bisogna moltiplicare per raggiungere $ l_n $ fattori.
E' evidente che $ f $ è iniettiva, per cui $ |A|\leq|B|=\binom{l_n+k}{k} $, dove nell'ultimo passaggio abbiamo utilizzato una nota formula per calcolare il numero di modi in cui un numero $ l_n $ può essere scritto come somma di $ k+1 $ addendi ordinati.
Le considerazioni fatte fino ad ora valgono per qualsiasi n naturale. Ora dimostriamo per n abbastanza grande si ha $ |A|\leq\binom{l_n+k}{k}<n+1 $ ovvero per n abbastanza grande non ci sono n+1 numeri n-utili distinti.
La prima disuguaglianza è già stata dimostrata; per la seconda basta dimostrare che
$ $\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\binom{l_n+k}{k}}{n+1}=0$ $
Possiamo dimostrare che il limite di una successione maggiorante (in cui togliamo le parti intere) è uguale a 0:
$ $\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\prod_{i=1}^k ((log_{p_1} (nx+y))+i)}{k!(n+1)}=0$ $
A questo punto notiamo che il numeratore cresce come $ (log_{p_1} n)^k $, mentre il denominatore cresce come n.
Basta dunque dimostrare che
$ $\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{(\log_{p_1} n)}{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\prod_{i=1}^k \frac{log_{p_1} n}{\sqrt[k]{n}}=0$ $
e questo è vero se e solo se
$ $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{log_{p_1} n}{\sqrt[k]{n}}=0$ $
Quest' ultimo limite si risolve facilmente applicando la regola di de l'Hospital:
$ $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{log_{p_1} n}{\sqrt[k]{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{n\ln p_1}}{n^{\frac{1}{k} -1}}=0$ $.
Ciao!
Supponiamo per assurdo che basti un insieme finito S di k numeri primi $ p_1, \cdots, p_k $, con k naturale, per generare tutti gli elementi della successione. Allora necessariamente S non è vuoto, altrimenti potremmo generare solo il numero 1. Diciamo che un naturale è n-utile se è minore di nx+y ed è divisibile solo per primi appartenenti a S. Sia ora $ p_1 $ il più piccolo primo contenuto in S; evidentemente un numero n-utile è il prodotto di al più $ [\log_{p_1} (nx+y) ] $, dove le parentesi quadre indicano la parte intera; poniamo$ l_n=[\log_p (nx+y)] $. A questo punto definiamo una funzione $ f $ dall'insieme A dei numeri n-utili all'insieme B delle (k+1)-uple ordinate di naturali con somma $ l_n $ in modo che il numero n-utile $ a=p_1^{\alpha_1}\cdot \cdots\cdot p_k^{\alpha_k} $ sia associato alla (k+1)-upla $ (\alpha_1;\cdots;\alpha_k; l_n-\sum_{i=1}^k\alpha_i) $. Fondamentalmente stiamo associando a ogni numero n-utile il vettore le cui componenti sono le valutazioni $ p_i $-adiche del numero stesso e per ultima la potenza di uno per cui bisogna moltiplicare per raggiungere $ l_n $ fattori.
E' evidente che $ f $ è iniettiva, per cui $ |A|\leq|B|=\binom{l_n+k}{k} $, dove nell'ultimo passaggio abbiamo utilizzato una nota formula per calcolare il numero di modi in cui un numero $ l_n $ può essere scritto come somma di $ k+1 $ addendi ordinati.
Le considerazioni fatte fino ad ora valgono per qualsiasi n naturale. Ora dimostriamo per n abbastanza grande si ha $ |A|\leq\binom{l_n+k}{k}<n+1 $ ovvero per n abbastanza grande non ci sono n+1 numeri n-utili distinti.
La prima disuguaglianza è già stata dimostrata; per la seconda basta dimostrare che
$ $\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\binom{l_n+k}{k}}{n+1}=0$ $
Possiamo dimostrare che il limite di una successione maggiorante (in cui togliamo le parti intere) è uguale a 0:
$ $\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\prod_{i=1}^k ((log_{p_1} (nx+y))+i)}{k!(n+1)}=0$ $
A questo punto notiamo che il numeratore cresce come $ (log_{p_1} n)^k $, mentre il denominatore cresce come n.
Basta dunque dimostrare che
$ $\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{(\log_{p_1} n)}{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\prod_{i=1}^k \frac{log_{p_1} n}{\sqrt[k]{n}}=0$ $
e questo è vero se e solo se
$ $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{log_{p_1} n}{\sqrt[k]{n}}=0$ $
Quest' ultimo limite si risolve facilmente applicando la regola di de l'Hospital:
$ $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{log_{p_1} n}{\sqrt[k]{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{n\ln p_1}}{n^{\frac{1}{k} -1}}=0$ $.
Ciao!
Sono il cuoco della nazionale!
Mmh, ciò che hai scritto è giusto ma non capisco come l'affermazione quotata implica la tesi del problemaAnér ha scritto:[...] Ora dimostriamo per n abbastanza grande si ha $ |A|\leq\binom{l_n+k}{k}<n+1 $[...]
Inoltre dove tieni conto che quella disuguaglianza dell'ipotesi vale solo definitivamente?
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Tanto per chiarezza, formalmente significa: esiste $ m $ (intero positivo) tale che per ogni $ n \geq m $ (oppure anche maggiore stretto, è equivalente) vale la proprietà richiesta.dario2994 ha scritto:Domanda stupida: Definitivamente vuol dire "da un certo punto in poi"? Se non vuol dire questo puoi spiegarlo...
...
Se dimostro che esiste almeno un n naturale tale che |A|<n+1, allora i primi n+1 termini della serie non possono essere tutti distinti, perché devono appartenere tutti ad A in quanto sono tutti minori di nx+y e sono tutti generati da primi appartenenti a S. Poiché ho dimostrato che per ogni n naturale vale $ |A|\leq\binom{l_n+k}{k} $, mi basta trovare un n naturale tale che $ \binom{l_n+k}{k}<n+1 $. Ora, dimostrando che il limite della frazione tra il binomiale e n+1 è zero, ottengo anche che per n abbastanza grande questa frazione è minore di 1; non mi serve che tale frazione sia minore di 1 definitivamente, mi basterebbe trovare un solo caso in cui vale la disuguaglianza e non preoccuparmi di controllare se per il resto di $ \mathbb{N} $ la frazione sia maggiore o uguale, o minore, di 1.
Sono il cuoco della nazionale!
Il problema si può generalizzare ponendo al posto di nx+y un qualsiasi polinomio p(n) a coefficienti positivi (o almeno definitivamente positivo per n che tende a + infinito); solo che stavolta la serie 1/p(n) con ogni n naturale non diverge, per cui bisogna ricorrere alla mia dimostrazione che invece si riesce ad adattare.
Sono il cuoco della nazionale!