Trovare tutti i polinomi p(x) a coefficienti complessi tali che per ogni terna di interi (a,b,c) con somma non nulla vale: a+b+c| p(a)+p(b)+p(c).
(TST Cina 2009)
tutti i polinomi in C[x] t.c. a+b+c| p(a)+p(b)+p(c)
tutti i polinomi in C[x] t.c. a+b+c| p(a)+p(b)+p(c)
The only goal of science is the honor of the human spirit.
ok allora ci provo:
se a+b+c/P(a)+P(b)+P(c) allora P(a)+P(b)+P(c)=(a+b+c)*t, ovvero deve essere t=P(a)/a=P(b)/b=P(c)/c
Da questo ricaviamo che p(x) deve essere del tipo kx
Però cosi sembra troppo semplice quindi ho di sicuro sbagliato qualcosa.....
se a+b+c/P(a)+P(b)+P(c) allora P(a)+P(b)+P(c)=(a+b+c)*t, ovvero deve essere t=P(a)/a=P(b)/b=P(c)/c
Da questo ricaviamo che p(x) deve essere del tipo kx
Però cosi sembra troppo semplice quindi ho di sicuro sbagliato qualcosa.....
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
ho ripescato questo problema per caso e voglio scrivere una soluzione decente, per rimediare alle schifezze che ho scritto un po' di mesi fa 
Innanzitutto dimostro che P(0)=0, infatti prendendo a=b=c ho che $ 3a|3P(a) $, da cui si conclude che $ P(x)=xQ(x) $ (se non fosse cosi prendendo a abbastanza grande avremmo un assurdo). Ora per ipotesi ho che $ a+b+c|P(a)+P(b)+P(c) $ e $ a+b+c=(a+b)+c+0|P(a+b)+P(c)+P(0) $. Poichè a+b+c divide entrambe le scritture, dividerà anche la loro differenza, ovvero $ a+b+c|P(a)+P(b)-P(a+b) $. A questo punto si può concludere che $ P(a)+P(b)-P(a+b) $ è sempre nullo: se esistessero a,b tali che $ P(a)+P(b)-P(a+b)\ne 0 $, potremmo scegliere c in modo tale da trovare un assurdo. Infatti $ P(a)+P(b)-P(a+b) $ rimane costante, mentre c può crescere indefinitamente, da cui l'assurdo. Quindi $ P(a+b)=P(a)+P(b) $ per ogni a,b. Ponendo a=b e facendo semplici considerazione sul coefficiente direttivo, si esclude che il grado di P(x) sia $ \ge 2 $, quindi $ P(x)=ax $. é semplice verificare che tutti i polinomi di questo tipo soddisfano l'ipotesi.
Spero possa andare bene
Innanzitutto dimostro che P(0)=0, infatti prendendo a=b=c ho che $ 3a|3P(a) $, da cui si conclude che $ P(x)=xQ(x) $ (se non fosse cosi prendendo a abbastanza grande avremmo un assurdo). Ora per ipotesi ho che $ a+b+c|P(a)+P(b)+P(c) $ e $ a+b+c=(a+b)+c+0|P(a+b)+P(c)+P(0) $. Poichè a+b+c divide entrambe le scritture, dividerà anche la loro differenza, ovvero $ a+b+c|P(a)+P(b)-P(a+b) $. A questo punto si può concludere che $ P(a)+P(b)-P(a+b) $ è sempre nullo: se esistessero a,b tali che $ P(a)+P(b)-P(a+b)\ne 0 $, potremmo scegliere c in modo tale da trovare un assurdo. Infatti $ P(a)+P(b)-P(a+b) $ rimane costante, mentre c può crescere indefinitamente, da cui l'assurdo. Quindi $ P(a+b)=P(a)+P(b) $ per ogni a,b. Ponendo a=b e facendo semplici considerazione sul coefficiente direttivo, si esclude che il grado di P(x) sia $ \ge 2 $, quindi $ P(x)=ax $. é semplice verificare che tutti i polinomi di questo tipo soddisfano l'ipotesi.
Spero possa andare bene
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!