problema Santos ,divisibilità

[danielf]

dimostrare che per ogni valore intero di n_

$ n^{9}-6n^{7} +9n^{5}-4n^{3} $
è divisibile per 8640

[jordan]

Per chi come me non sopporta fattorizzare $ 8640=2^6 \cdot 3^3 \cdot 5 $.

[Haile]

Per chi come me non sopporta fattorizzare $ 8640=2^6 \cdot 3^3 \cdot 5 $.

Oppure (hint?)

$ $8640 = 3! \cdot 5! \cdot 12$ $

[Iuppiter]

$ n^{9}-6n^{7} +9n^{5}-4n^{3} $
è uguale, dopo alcune fattorizzazioni a
$ (n-2)\cdot(n-1)^2\cdot n^3\cdot(n+1)^2\cdot(n+2) $

$ (n-2) \ (n-1) \ n\ (n+1) \ (n+2) $ rappresentano 5 numeri consecutivi.

Qunidi uno di loro è sicuramente divisibile per $ 5 $ .

Se $ n-2 $ è divisibile per $ 3 $, allora lo è anche $ (n+1)^2 $ ==> il numero è divisibile per $ 3^3=27 $

Se $ n-1 $ è divisibile per $ 3 $, allora è lo stesso caso di prima ==> divisibile per $ 27 $

Se $ n $ è divisibile per $ 3 $, allora $ n^3 $ è divisibile per $ 27 $

Se $ n $ è congruo a $ 0 $ mod $ 4 $, allora il numero è divisibile per $ 2^8 $

Se $ n $ è congruo a $ 1 $ mod $ 4 $, allora il numero è divisibile per $ 2^6 $

Se $ n $ è congruo a $ 2 $ mod $ 4 $, allora il numero è divisibile per $ 2^6 $

Se $ n $ è congruo a $ 3 $ mod $ 4 $, allora il numero è divisibile per $ 2^6 $

Nel peggiore dei casi, quindi il numero è divisibile per $ 2^6\cdot3^3\cdot5 =8640 $