cesenatico 2009

[danielf]

Sia ABCD un quadrato di centro O. Si costruiscano due triangoli isosceli BCJ e CDK,esterni al quadrato, di base BC e CD rispettivamente e congruenti fra loro. Sia poi M il punto medio di CJ. Si provi che le rette OM e BK sono perpendicolari.

volevo sapere come si poteva risolvere in analitica

[pak-man]

Poniamo wlog $ O=(0,0) $, $ A=(-1,-1) $, $ B=(1,-1) $, $ C=(1,1) $, $ D=(-1,1) $, $ J=(a-1,0) $, $ K=(0,a-1) $ (dunque $ M=(a/2,1/2) $).

La retta $ ~OM $ ha coefficiente angolare $ ~1/a $.
La retta $ ~BK $ ha equazione $ $\frac{y+1}{a}=\frac{x-1}{-1} $, dunque coefficiente angolare $ ~-a $.

Il prodotto dei coeff. angolari è -1 e le rette sono perpendicolari. $ ~\square $

[ndp15]

In gara il wlog andrebbe giustificato? Se si come? (dovrebbe essere banale, ma meglio evitar di fare e dire cazzate )

[Maioc92]

comunque non è nemmeno necessario, ti basta mettere ad esempio $ C=(\frac l 2,\frac l 2) $ e analogamente A,B,C. Poi ti fa tutti i contazzi lo stesso

[EvaristeG]

quel wlog in geometria si dice "trasliamo per mettere l'origine in ... e supponiamo, a meno di omotetie, che il lato sia 1", facendo notare che il problema è invariante per similitudini.

[Pigkappa]

Oppure si dice anche (forse è più da fisico):

"Poniamo l'origine degli assi coordinati nel centro del quadrato e mettiamo gli assi parallelamente ai lati del quadrato. Scegliamo come unità di misura metà del lato."

[Claudio.]

Scusate se riprendo un vecchio post, ma sono praticamente 0 nelle dimostrazioni avrei una domanda: quando porti una figura sul piano cartesiano, come in questo caso, cosa puoi scrivere in numeri e cosa no. Per esempio, per quanto sia ovvio, se metti in numeri le coordinate del quadrato e arrivi alla tesi puoi semplicemente dire che ciò vale per qualsiasi quadrato?

[Haile]

Per esempio, per quanto sia ovvio, se metti in numeri le coordinate del quadrato e arrivi alla tesi puoi semplicemente dire che ciò vale per qualsiasi quadrato?

Se la tua dimostrazione non dipende dalla scelta dei "numeri" si. Come ha scritto pak-man:

"Poniamo wlog"

Significa "Poniamo without loss of generality", ovvero "senza perdita di generalità"

[Claudio.]

E questa non perdita della generalità, devi dimostrarla in un gara? O in questi casi puoi, come è, darla per ovvia?

[Tibor Gallai]

E questa non perdita della generalità, devi dimostrarla in un gara? O in questi casi puoi, come è, darla per ovvia?

In generale sta al tuo buonsenso.
In questo caso bastano pochissime parole di giustificazione: in pratica devi osservare che il problema è invariante per similitudine. Basta dirlo così, e va bene, perché è piuttosto ovvio. Se vuoi dirlo più nei dettagli, dici che una similitudine conserva le ampiezze degli angoli, i rapporti tra le lunghezze dei segmenti, la concorrenza tra rette. Quindi il quadrato resta un quadrato, i triangoli isosceli uguali restano isosceli e uguali, le rette perpendicolari della tesi sono perpendicolari sia prima che dopo la similitudine, etc.

Per il problema qui, basta in realtà osservare che la figura è simmetrica rispetto ad una diagonale del quadrato. Si risolve in 1 riga, senza buttarlo in coordinate come dei beoti.
P.S. a meno che non sia il testo dell'esercizio a chiedervi di agire da beoti, come nel caso in questione.

[danielf]

questo stesso problema,senza la geometria analitica come potrebbe essere risolto?

[Reginald]

A me la soluzione più veloce che viene in mente è questa:
Se ruoto la figura di partenza di 90° in senso orario rispetto a O la rotazione mi manda k in J e B in A. Ora se faccio un'omotetia di centro C e di parametro 1/2, quest'omotetia mi manda JA in MO. Ma allora MO è parallela a JA. Ma JA è perpendicolare a KB(per fare JA avevo ruotato di 90°KB), quindi abbiamo vinto perchè MO è perpendicolare a KB.

EDIT: penso che poi sia quello che diceva Tibor..

[karl]

Una soluzione disegnata ..ed umanizzata

[danielf]

Una soluzione disegnata ..ed umanizzata

grazie!

[Tibor Gallai]

EDIT: penso che poi sia quello che diceva Tibor..

No, dicevo un'altra cosa perché avevo letto male il testo e consideravo altri 2 segmenti. Resta valida l'associazione coordinate-beota, però.