problema di sylvester(conosciutissimo!!!!!)

Azarus · Messaggio da **Azarus** » 01 gen 1970, 01:33

siano dati nel piano n punti con la seguente relazione : presi comunque 2 punti ve ne è un altro sulla stessa retta.
 
 dimostrare che tutti i punti sono su una stessa retta.
 
 
 io conosco solo la soluzione elegantissima di kelly, ma non quella complicata proposta prima
 se qualcuno gentilmente postasse quella vecchia?

Messaggio da **FrancescoVeneziano** » 01 gen 1970, 01:33

Non conoscevo il problema, e non conosco né “l’elegante soluzione di kelly”, né quella vecchia.
 Secondo me si può risolvere semplicemente per induzione:
 per n=2 i due punti sono necessariamente allineati.
 Se n punti sono allineati, anche n+1 devono esserlo: se non lo fossero, nessuna retta tra il punto n+1 e uno degli altri n punti, potrebbe contenerne altri.
 
 CaO (ossido di calcio)

Azarus · Messaggio da **Azarus** » 01 gen 1970, 01:33

non regge l\'induzione perchè vi è sotto una tautologia
 il punto lo supponi allineato agli altri due ma il problema lo puoi rileggere come \"trovare il motivo per cui un punto non può essere fuori dalla retta\" quindi affermando che è allineato risolveresti il problema dicendo
 
 P è allineato agli N perchè deve esserlo
 
 che evidentemente non è un presupposto per un induzione

DD · Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

Directions per una ricerca su internèt: la soluzione complicata è di un tale T. Gallai, 1933.

Messaggio da **FrancescoVeneziano** » 01 gen 1970, 01:33

Non ho ben compreso l\'obiezione.
 Potresti spiegare più in dettaglio il motivo per cui non posso applicare l\'induzione?
 Grazie
 CaO (ossido di calcio)

Azarus · Messaggio da **Azarus** » 01 gen 1970, 01:33

credo che una spiegazione possa essere:
 
 gli N punti sono dati, non vengono definiti.
 di loro viene definito solo la proprieta che hanno, dunque prendere due qualunque punti dice solo che ce ne è un altro sulla stessa retta r ,
 ma potrebbe esistere un altra retta s composta da 3 punti da qualche altra parte del piano,
 i cui punti saranno per forza allineati con uno della retta r , che dunque per la proprietà data avranno un altro punto sulla stessa retta, generando dunque una nuova retta t
 e così via.
 
 questo per far capire che l\'induzione non regge poichè non riesce a dimostrare l\'impossibilità di punti fuori dalla retta

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Scusa, Azarus, ma non riesco a comprendere bene le tue obiezioni a FrancescoVeneziano. Provo a riformulare la dimostrazione per induzione, e poi ti prego di chiarirmi la questione.
 
 I) per n=3 discende direttamente dall\'ipotesi che i punti stiano su di una stessa retta.
 
 II) Supponiamo che dati n punti con la suddetta proprietà, essi debbano stare su di una stessa retta. Allora se esiste una retta che passa per due qualsiasi di questi punti essa li contiene tutti.
 Se aggiungiamo l\'n+1-esimo punto, esso sempre per ipotesi starà su di una retta dove giacciono anche due degli n punti, e dunque su tale retta giacciono tutti gli n+1 punti.
 
 Cosa c\'è che non funziona?
 Ciao e grazie in anticipo

Azarus · Messaggio da **Azarus** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2002-03-02 19:52, lordgauss wrote:
 Scusa, Azarus, ma non riesco a comprendere bene le tue obiezioni a FrancescoVeneziano. Provo a riformulare la dimostrazione per induzione, e poi ti prego di chiarirmi la questione.
 
 
 
 II) Supponiamo che dati n punti con la suddetta proprietà, essi debbano stare su di una stessa retta. </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 
 
 contro obiezione: devi dimostrarlo che stanno sulla stessa retta, non assumerlo come base dell\'induzione

Azarus · Messaggio da **Azarus** » 01 gen 1970, 01:33

ah, ora ho capito cosa dite precisamente:
 
 1-dite che dati tre punti è banale (giusto e facile da dimostrare)
 
 2- dite che ogni punto che aggiungete deve rispettare la proprietà e quindi necessariamente essere allineato.
 
 ho una osservazione: considerate la retta a cui appartengono tre punti a,b,c.
 considerate ora un altro punto p esterno alla retta.
 si hanno quindi tre nuove rette s,t,v passanti per ap bp cp.
 per soddisfare l\'enunciato del problema ci devono essere dei punti su queste rette s,t,v chiamati d,e,f.
 ci saranno dunque nuove rette db dc ecc..
 che per il problema avranno un punto g,h,i sulla stessa retta ecc..
 
 
 da questo osserviamo che non possiamo capire se una configurazione in cui un punto p è esterno alla retta conduce ad un assurdo, dunque asserire che l\'n+1 esimo numero è necessariamente sulla retta degli altri non può essere esatto, perchè magari esiste una configurazione in cui p è esterno ma la condizione è rispetttata.
 
 comunque l\'induzione si può applicare una volta trovato il motivo per cui p non può essere esterno....
 
 
 
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lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

OK, ci sono. Il mio errore sta nel dire \"Se aggiungiamo l\'n+1-esimo punto\", come se l\'insieme di n punti mantenesse intatte tutte le sue proprietà originarie.
 In realtà ciò è falso. Per esempio, considerando un insieme di n punti, sulla retta che congiunge i punti 3 e 5 sta uno degli altri n-2 punti, poniamo il punto 7. Se invece i punti sono n+1, sulla retta che congiunge 3 a 5 può benissimo stare n+1.
 Io invece ho barato: ho dato per scontato che con n+1 punti fosse sempre vero che sulla retta congiungente 3 a 7 stesse uno degli altri originari n-2 punti, e non vi potesse stare n+1.
 
 In ogni caso questo errore è istruttivo: contribuisce a mettere in evidenza quali possano essere le \"trappole\" dell\'induzione.

Azarus · Messaggio da **Azarus** » 01 gen 1970, 01:33

la soluzione di Kelly si basa sulla minimalità....

DD · Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

...ma io direi che, per quanto sia semplice una volta che uno l\'ha letta, è un po\' impossibile arrivarci senza aiutini

Cartesio · Messaggio da **Cartesio** » 01 gen 1970, 01:33

Scusate se rispondo al problema direttamnte, senza aver prima letto tutta la sequela di interventi e dibattiti (scusate in anticipo se potrei farvi perdere tempo ripetendo cose già dette in precedenza) comunque, il problema mi sembra abbastanza facile.... naturalmente correggetemi se sbaglio, potrei dire bestialità.... i punti devono necessariamente essere allineati, poichè, se non lo fossero, n (il numero dei punti) diverebbe necessariamente infinito, per poter rispettare la proprietà detta, cosa esclusa dalla traccia stessa. Pensate ad esempio ad un insieme di punti allineati in righe e colonne: per quanto numerosissimi possano essere i punti stessi, il primo e l\'ultimo di due colonne o righe successive non rispetteranno mai la proprietà assunta nella traccia. Ripeto appunto che per avere due dimensioni spaziali, questo insieme di punti deve essere appunto, infinito... si pensi ad esempio al piano... \"tra due punti qualsiasi ce n\'è sempre un terzo\" (così dovrebbe dire +o-).
 Grazie per l\'\"ascolto\". Aspetto critiche...(nel senso più generico del termine)! Ciao a tutti
 Cartesio

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Cartesio, OK per ciò che dici: intuitivamente è vero. Ma la dimostrazione?
 
 Ho pensato a due metodi d\'attacco, probabilmente infruttuosi, ma provare non costa nulla
 
 1) Anzitutto occorre provare la tesi per i multipli di un numero h, quello che ci risulta più comodo, per esempio 4 o 117. Poi si ragiona per assurdo. Si prende il minor insieme di k punti per il quale la tesi è falsa e si dimostra per induzione che allora per tutti gli n>k la tesi sarebbe falsa, assurdo perchè esistono multipli di h maggiori di k.
 
 Occorre vedere se provare la tesi per i multipli di un numero sia più facile che per tutti i numeri. Naturalmente va bene lo stesso se viene provata, che so, per i numeri primi o per una qualsiasi progressione aritmetica infinita.
 
 
 2)Similmente a ciò che ha detto Cartesio, si connettono tutti gli n punti, ottenendo in generale n(n-1)/2 rette. Ora, su ciascuna di queste rette deve stare uno degli altri n punti; si continua provando che allora i punti sono allineati. Si può usufruire del problema 4, APMO del 1991, per certi versi utile ai nostri fini. Lo potete trovare al seguente indirizzo (senza soluzione): http://www.chez.com/eldelmich/APMO91.htm
 
 Buonaseera
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: lordgauss il 2002-03-08 20:08 ]

Azarus · Messaggio da **Azarus** » 01 gen 1970, 01:33

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 On 2002-03-08 15:24, DD wrote:
 ...ma io direi che, per quanto sia semplice una volta che uno l\'ha letta, è un po\' impossibile arrivarci senza aiutini
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 eho ma almeno ora che so la soluzione posso fare il grosso per un poco..... <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon21.gif"> <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon21.gif"> <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon21.gif"> <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_wink.gif">