[log_b(n)+log_b(b^a+1)]-[log_b(n)]>a, min n=?
[log_b(n)+log_b(b^a+1)]-[log_b(n)]>a, min n=?
Own. Siano $ a,b $ interi positivi fissati tali che b>1. Trovare $ \min\{n \in \mathbb{N}_0: \lfloor \text{log}_b(n)+\text{log}_b(b^a+1) \rfloor - \lfloor \text{log}_b(n) \rfloor >a \} $
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Per ogni $ n $ intero positivo tale che
$ $\lfloor \log_b (n)+\log_b (b^a +1)\rfloor - \lfloor\log_b(n)\rfloor\geq a+1$ $
si ha che
$ $\lfloor \log_b (n)+\log_b (b^a +1)\rfloor - \lfloor\log_b(n)\rfloor=\lfloor \log_b(n)\rfloor+\lfloor \log_b(b^a+1)\rfloor+\lfloor\{\log_b(n)\} + \{\log_b(b^a+1)\}\rfloor-\lfloor\log_b(n)\rfloor=a+\lfloor\{\log_b(n)\} + \{\log_b(b^a+1)\}\rfloor\geq a+1$ $
dunque
$ $\{\log_b(n)\} + \{\log_b(b^a+1)\}\geq 1$ $
e viceversa; le parentesi graffe rappresentano la parte frazionaria.
Chiamiamo $ k $ il minimo intero positivo ad avere tale proprietà (se esiste). Se la più piccola potenza di $ b $ maggiore di $ k $ è $ b^i $, allora anche $ n=b^i-1 $soddisfa la disuguaglianza, infatti
$ $\{\log_b(b^i-1)\}+\{\log_b(b^a+1)\}\geq \{\log_b(k)\}+\{\log_b(b^a+1)\}\geq 1$ $
Inoltre tutti i numeri della forma $ b^i-1 $ che soddisfano l'uguaglianza sono maggiori o uguali a $ k $, perché $ k $ è il minimo per definizione. La nostra strategia sarà perciò di trovare prima il più piccolo $ i $ intero positivo tale che $ b^i-1 $ soddisfa la disuguaglianza, e poi trovare il più grande $ m $ intero positivo tale che $ b^i-m $ soddisfa la disuguaglianza.
Se $ b^i $ è la più piccola potenza di $ b $ maggiore di $ n $, con $ n $ soluzione della disuguaglianza, abbiamo:
$ $\{\log_b(n)\} + \{\log_b(b^a+1)\}=\log_b\frac{n}{b^{i-1}}+\log_b\frac{b^a+1}{b^a}\geq 1$ $
Da cui si ottiene
$ $\frac{n(b^a+1)}{b^{i+a-1}}\geq b$ $
Se cerchiamo una soluzione della forma $ b^i-1 $ si vede subito che $ \forall i\geq a+1 $ vale la disuguaglianza. Se invece cerchiamo un soluzione della forma $ b^{a+1}-m $, con $ 1\leq m \leq b^{a+1}-b^a $, si vede subito che $ m\leq\lfloor\frac{b^{a+1}}{b^a+1}\rfloor=b-1 $; dunque
$ $k=b^{a+1}-b+1$ $.
Ho ricorretto alcune formule che contenevano degli errori di sintassi la prima volta che le ho scritte; me ne sono accorto perché è comparso il messaggio $ \frac{a}{b^{c} $. Che significa "unparseable"? E come fa una formula in latex ad essere pericolosa???
$ $\lfloor \log_b (n)+\log_b (b^a +1)\rfloor - \lfloor\log_b(n)\rfloor\geq a+1$ $
si ha che
$ $\lfloor \log_b (n)+\log_b (b^a +1)\rfloor - \lfloor\log_b(n)\rfloor=\lfloor \log_b(n)\rfloor+\lfloor \log_b(b^a+1)\rfloor+\lfloor\{\log_b(n)\} + \{\log_b(b^a+1)\}\rfloor-\lfloor\log_b(n)\rfloor=a+\lfloor\{\log_b(n)\} + \{\log_b(b^a+1)\}\rfloor\geq a+1$ $
dunque
$ $\{\log_b(n)\} + \{\log_b(b^a+1)\}\geq 1$ $
e viceversa; le parentesi graffe rappresentano la parte frazionaria.
Chiamiamo $ k $ il minimo intero positivo ad avere tale proprietà (se esiste). Se la più piccola potenza di $ b $ maggiore di $ k $ è $ b^i $, allora anche $ n=b^i-1 $soddisfa la disuguaglianza, infatti
$ $\{\log_b(b^i-1)\}+\{\log_b(b^a+1)\}\geq \{\log_b(k)\}+\{\log_b(b^a+1)\}\geq 1$ $
Inoltre tutti i numeri della forma $ b^i-1 $ che soddisfano l'uguaglianza sono maggiori o uguali a $ k $, perché $ k $ è il minimo per definizione. La nostra strategia sarà perciò di trovare prima il più piccolo $ i $ intero positivo tale che $ b^i-1 $ soddisfa la disuguaglianza, e poi trovare il più grande $ m $ intero positivo tale che $ b^i-m $ soddisfa la disuguaglianza.
Se $ b^i $ è la più piccola potenza di $ b $ maggiore di $ n $, con $ n $ soluzione della disuguaglianza, abbiamo:
$ $\{\log_b(n)\} + \{\log_b(b^a+1)\}=\log_b\frac{n}{b^{i-1}}+\log_b\frac{b^a+1}{b^a}\geq 1$ $
Da cui si ottiene
$ $\frac{n(b^a+1)}{b^{i+a-1}}\geq b$ $
Se cerchiamo una soluzione della forma $ b^i-1 $ si vede subito che $ \forall i\geq a+1 $ vale la disuguaglianza. Se invece cerchiamo un soluzione della forma $ b^{a+1}-m $, con $ 1\leq m \leq b^{a+1}-b^a $, si vede subito che $ m\leq\lfloor\frac{b^{a+1}}{b^a+1}\rfloor=b-1 $; dunque
$ $k=b^{a+1}-b+1$ $.
Ho ricorretto alcune formule che contenevano degli errori di sintassi la prima volta che le ho scritte; me ne sono accorto perché è comparso il messaggio $ \frac{a}{b^{c} $. Che significa "unparseable"? E come fa una formula in latex ad essere pericolosa???
Ultima modifica di Anér il 03 nov 2009, 20:47, modificato 2 volte in totale.
Sono il cuoco della nazionale!
se ti interessa puoi vedere la mia soluzione 