Strani poliedri

[Tibor Gallai]

Come sanno anche le pietre, ogni poligono è triangolabile, ovvero è un'unione di triangoli aventi i vertici nei vertici del poligono, e parti interne a due a due disgiunte.
Questo implica che, da ogni punto interno di un poligono, sono "visibili" almeno 3 vertici del poligono stesso.
Con un argomento simile si dimostra che, da ogni punto esterno ad un poligono, si "vede" almeno un vertice del poligono.

Ma la stessa cosa vale per i poliedri?

Mostrare che:
1) esistono poliedri non scomponibili in tetraedri (determinando inoltre il minimo numero di vertici che deve avere un poliedro non scomponibile in tetraedri).
2) Esistono poliedri aventi un numero arbitrariamente alto di punti interni mutuamente invisibili, e dai quali sono invisibili i vertici.
3) Esistono poliedri aventi un numero arbitrariamente alto di punti esterni mutuamente invisibili, e dai quali sono invisibili i vertici.
4) Esistono poliedri che soddisfano tutti e 3 i requisiti di cui sopra.

[Tibor Gallai]

Uppo questo thread, che purtroppo ha 0 risposte.
Forse non interessa a nessuno, o è troppo difficile, troppo facile, troppo esoterico... Boh?
Devo dare un hint di qualche tipo?

[sprmnt21]

Uppo questo thread, che purtroppo ha 0 risposte.
Forse non interessa a nessuno, o è troppo difficile, troppo facile, troppo esoterico... Boh?
Devo dare un hint di qualche tipo?

Prova a dare qualche suggerimento, gradualmenet se possibile.

[Tibor Gallai]

Ok! Allora, è chiaro che punto (2) implica punto (1): se un poliedro è triangolabile (nel senso di scomponibile in tetraedri i cui vertici sono anche vertici del poliedro), allora non può avere punti interni invisibili dai vertici. Anzi, da ogni punto interno sono visibili almeno 4 vertici. Quindi ogni poliedro che risolve (2) risolve indirettamente anche (1).

Ma trovare esempi espliciti per (1) è più facile, credo. Dò un consiglio per una possibile costruzione: si parte da un prisma retto a basi triangolari equilatere. Ha 2 facce triangolari e 3 facce rettangolari, 9 spigoli e 6 vertici. Ovviamente è scomponibile in 3 tetraedri. Ma cosa succede se lo si "torce" ruotando su sé stessa una base?

[sprmnt21]

Ok! Allora, è chiaro che punto (2) implica punto (1): se un poliedro è triangolabile (nel senso di scomponibile in tetraedri i cui vertici sono anche vertici del poliedro), allora non può avere punti interni invisibili dai vertici. Anzi, da ogni punto interno sono visibili almeno 4 vertici. Quindi ogni poliedro che risolve (2) risolve indirettamente anche (1).

Ma trovare esempi espliciti per (1) è più facile, credo. Dò un consiglio per una possibile costruzione: si parte da un prisma retto a basi triangolari equilatere. Ha 2 facce triangolari e 3 facce rettangolari, 9 spigoli e 6 vertici. Ovviamente è scomponibile in 3 tetraedri. Ma cosa succede se lo si "torce" ruotando su sé stessa una base?

Se si "torce", potremmo arrivare ad avere una specie di clessidra.

Mi resta il dubbio se quello che otteniamo sia ancora un poliedro ( a proposito, una definizione potrebbe essere utile) almeno nelle fasi intermedie. Mi spiego meglio: a seguito di una torsione di una angolo generico la superficie laterale che collega due spigoli non e' piu' piana, essendo i lati dei traingoli basi su rette sghembe. Mentre per essere ancora poliedro, il solido deve avere le facce piane, o no?

Se "torciamo" fino a far girare una base di 180° le cose vanno a posto (?), abbiamo la clessidra che dicevo con tutte facce piane. Quindi ...

[sprmnt21]

Come sanno anche le pietre, ogni poligono è triangolabile, ovvero è un'unione di triangoli aventi i vertici nei vertici del poligono, e parti interne a due a due disgiunte.

questo e' vero anche per i poligoni intrecciati? In questo sarebbe buona cosa avere una defizione precisa di punti interni ed esterni.


La "clessidra" che si ottiene "torcendo" il prisma a basi traingolari sembra avere un analogo bidimensionale nel poligono a "farfalla".

Se la clessidra risponde al punto (1) e la farfalla risolvesse un problema analogo nel piano, vale [ti chiedo un altro suggerimento] l'analogia con il piano anche per il punto (2)?

[Tibor Gallai]

Ok, ringrazio sprmnt21 per aver messo un po' di carne al fuoco su questi problemini! Vediamo di rispondere...

Se si "torce", potremmo arrivare ad avere una specie di clessidra.
Mi resta il dubbio se quello che otteniamo sia ancora un poliedro ( a proposito, una definizione potrebbe essere utile) almeno nelle fasi intermedie.

La clessidra non è un poliedro, secondo la mia definizione.
Giustamente obietti che non ho dato una definizione... Non l'ho fatto per non appesantire il già ridondante primo post, ma a questo punto è doveroso un chiarimento.

Un poliedro dev'essere tale che ogni faccia sia un poligono piano semplice (non intrecciato), ogni spigolo appartenga ad esattamente 2 facce, e per ogni faccia sia ben definibile una superficie interna ed una superficie esterna. Analogamente, dev'essere ben definito il concetto di "fuori" e "dentro": ogni punto dello spazio è o dentro il poliedro, o fuori dal poliedro, o sulla superficie. Inoltre, l'insieme dei punti interni dev'essere connesso. Può tuttavia non essere semplicemente connesso (può essere ad esempio una "ciambella").

Quindi l'ultima condizione esclude la tua clessidra, e tutte le cose tipo 2 cubi connessi per un vertice, etc. Una configurazione tipo 2 cubi connessi per uno spigolo è esclusa per lo stesso motivo, ed anche perché uno spigolo dev'essere in comune ad esattamente 2 facce. Alcuni autori adottano definizioni più restrittive, altri meno restrittive, non c'è una definizione standard... Noi adottiamo questa qui.

a seguito di una torsione di una angolo generico la superficie laterale che collega due spigoli non e' piu' piana, essendo i lati dei traingoli basi su rette sghembe. Mentre per essere ancora poliedro, il solido deve avere le facce piane, o no?

Esatto. Quindi ognuna delle 3 facce laterali, che prima erano rettangoli, si deve spezzare in 2 triangoli. Ci sono 2 modi per fare questo spezzamento: in un modo, il poliedro resta convesso (e chiaramente non è quel che vogliamo!), nell'altro modo no.
Ora, durante la trasformazione che porta il solido da prisma a clessidra, succede qualcosa di interessante..........

questo e' vero anche per i poligoni intrecciati? In questo sarebbe buona cosa avere una defizione precisa di punti interni ed esterni.

No, per "poligoni" sottointendevo non intrecciati, ovvero semplici. Quindi è chiaro cosa significhi interno ed esterno. Per dimostrare il teorema della triangolazione dimostri che un poligono semplice ha almeno un angolo interno convesso, dal quale parte una diagonale interna se e solo se i vertici sono almeno 4.

[sprmnt21]

Allora proviamo così:


Sia ABC il triangolo equilatero di "sotto" e A'B'C' quello di "sopra". Oltre ai colegamenti "naturali" XX', come lati del poliedro consideriamo anche AB', BC' e CA'(*). Se rutiamo adesso il traingolo di sopra nel stesso senso in cui abbiamo etichettatto il traingolo di sotto (cioe' se A,B e C si susseguo in senso antiorario, si torce A'B'C' in senso antiorario). Si ottiene un origami che dopo 60° di contorcimento si blocca, perche' gli XY' si toccano nel loro punto medio ottenendo un incrocio tra una clessira e una farfaffa a tre ali, mi pare e questo origami mi pare poco triangolabile.


(*) con il verso di toesione scelto, se scegliessimo come spigoli YX' (considerando l'ordine lessicografico) si otterrebbe un poliedro convesso.

[Tibor Gallai]

Eh, però la clessidra con le alette non ha parte interna connessa. Tu obietterai che allora si può aggiungere un "manico" che unisce le 2 parti, e io allora ti chiedo di aggiungere l'ulteriore ipotesi che ogni punto d'intersezione tra spigoli sia un vertice, e che, per ogni vertice, i punti interni ad esso sufficientemente vicini formino uno spazio omeomorfo a una sfera (aperta). Ecco, ho detto omeomorfo e non volevo... Alternativamente (e più restrittivamente) diciamo che le facce che hanno in comune uno stesso vertice devono formare un "circuito semplice", se è chiaro cosa intendo...

Posto che la clessidra alata è un poliedro molto degenere, cosa si può dire se invece di torcere di 60° ti fermi a 30°?

[sprmnt21]

Eh, però la clessidra con le alette non ha parte interna connessa.

ah gia' ... deve essere pure connesso.

Posto che la clessidra alata è un poliedro molto degenere, cosa si può dire se invece di torcere di 60° ti fermi a 30°?

In effetti, se ho capito bene, basta anche una piccolissima torsione (in aprticolare 30°) per rendere, ad esempio, A "visibile" da A' e B' e non da C' e quindi l'origami non triangolabile.

X "visibile" da Y si intende che il segmento XY e' inetrno al solido,vero?

[Tibor Gallai]

Sì, esatto. Non si possono "inscrivere" tetraedri in quel solido, quindi non è triangolabile (o tetraedrabile che dir si voglia).
Adesso lasciamo perdere la domanda sulla minimalità, basta guardare qualche configurazione...

Per il punto 2, vediamo che serve un'altra idea, perché il prisma ritorto non va bene: ogni punto interno è visibile da almeno 3 vertici. Troviamo prima un poliedro con un punto interno (o meglio una sferetta interna), invisibile dai vertici. Poi si generalizza.

[sprmnt21]

Per il punto 2, vediamo che serve un'altra idea, ...

forse serve anche un altro suggerimento ... (il piu' piccolo possibile, se e' possibile)

[Tibor Gallai]

Ok!
Diciamo che il punto in questione dev'essere circondato da facce (ovviamente!) e queste facce devono incastrarsi le une con le altre senza però toccarsi, e quindi senza formare vertici... E devono essere così vicine tra loro che dagli spiragli non si vedano vertici.
Detto così sembra complicato, ma c'è una costruzione veramente sempice che risolve il problema.