x=n+y, dove x e y hanno lo stesso numero di fattori primi

[jordan]

Mostrare che per ogni $ n \in \mathbb{N}_0 $ esiste $ (x,y) \in \mathbb{N}_0^2 $ tale che $ x=n+y $ e $ \omega(x)=\omega(y) $.

Ps. Very easy

[Reginald]

Se non ho capito male il problema è tutta una questione di casi...Scrivo alcune soluzioni interessanti

3=2+1 (1)

5=3+2(2)
7=5+2(3)
9=7+2(4)

7=4+3(5)
7*8=11*5+1(6)

Dividiamo n in 3 categorie: n è dispari non multipla di 3(categoria 1); n è multipla di 6(categoria 2); n è pari non multipla di 3(categoria 3); n è dispari multipla di 3(categoria 4)

Per ogni n appartenente alla categoria 1 e 2 il problema può essere risolto così:
3n=2n+n...In questo caso sia 3n che 2n hanno lo stesso numero di fattori primi...

Categoria 3: divido ancora in 3 casi: n multipla di 5 ma non di 7(caso a), n multipla di 7 ma non di 5(caso b), tutto il resto (caso c)..per il caso c, posto n =2m posso fare così 7m=5m+2m.. Per il caso a uso la formula (4) e per il caso b uso la (2)

Categoria 4: divido ancora in 3 casi identici a quelli sopra, e faccio la stessa roba solo che n=3m, per il caso c faccio così: 7*8*n=11*5*n+n e per il caso a uso la(5)..

Spero di non aver scritto eresie...

[Maioc92]

ecco la mia soluzione:
se n pari scelgo y=n e ho finito.
Se n dispari scelgo y=(p-1)n dove p è il più piccolo primo >2 che non divide n. Devo dimostrare che $ \omega (pn)=\omega ((p-1)n) $, il che è vero perchè $ p-1=2^ak $, e la scomposizione in primi di k contiene ovviamente solo primi minori di p, che per ipotesi dividono n. Quindi $ \omega (pn)=\omega ((p-1)n)=\omega (n)+1 $

[jordan]

Good
@Reginald: ancora non ho capito se la tua è una soluzione parziale o meno..