Kangourou Cadet
Kangourou Cadet
Trovare tutte le soluzioni dell'equazione $ 1000a+100b+10c+d=a^a+b^b+c^c+d^d $ con $ (a,b,c,d) \in \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \} ^4 $
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
Maledetti fisici! (cit.)
Maledetti fisici! (cit.)
Siete davvero deludenti..... 
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
Maledetti fisici! (cit.)
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Non metto la dimostrazione perchè è tardi e sono stanco... do solo un paio di hint:
1) Valutare a.
2) Sostituire a e limitare di conseguenza gli altri
3) Trovare 3 cifre anche se non in ordine e valutare di conseguenza RHS
4) Concludere provando i 3 numeri che escono, ottenendo 3435 come unico risultato
Poi se in un paio di giorni nessuno posta la dimostrazione fo io :)
1) Valutare a.
2) Sostituire a e limitare di conseguenza gli altri
3) Trovare 3 cifre anche se non in ordine e valutare di conseguenza RHS
4) Concludere provando i 3 numeri che escono, ottenendo 3435 come unico risultato
Poi se in un paio di giorni nessuno posta la dimostrazione fo io :)
anche io ho fatto più o meno cosi, però come soluzione mi è parsa molto casosa e poco elegante...mi chiedevo se esiste una soluzione più diretta ed elegante che permetta di arrivare alla soluzione più velocemente. Qualcuno ha voglia di cercarla??
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
Ok posto... anche se la dimostrazione non mi piace per niente.
Step 1) Tutte le variabili sono minori o uguali a 5. (se fosse presente un 6 o più otterrei RHS>9999 assurdo )
Step 2) È presente un solo 5 (se ce ne fossero 2 allora a sarebbe maggiore di 5 assurdo per lo step 1). Se non ce ne fosse nessuno, affinchè a rimanga diverso da 0, dovrebbe essere a=b=c=d=4 che però non è soluzione (verifica diretta).
Step 3) a=3 per lo step 2) è presente un solo 5, inoltre RHS rimane sempre minore di 4000 perchè anche se le variabili diverse da 5 sono 4 RHS=3125+256*4<4000. Inoltre RHS>3000 (è presente tra gli addendi 3025) perciò la cifra delle migliaia è 3==> a=3.
Step 4) Sostituisco a=3 ottenendo:
$ 2973+100b+10c+d=b^b+c^c+d^d $
Noto che LHS è compreso tra 2973+115 e 2973+544 da cui anche LHS lo è... ma so gia che è presente un 3125 che assumo (non proprio WLOG ma non saprei qual'è il termine esatto) essere b (tratto le variabili come se fosse un espressione simmetrica).. ottenendo:
$ 2973+115-3125\le c^c+d^d\le 2973+544-3125 \Rightarrow c^c+d^d\le 392 $
Step 5) Tramite l'ultima disequazione si deduce che tra b,c,d esiste al massimo un 4.
Step 6) Sostituisco nel RHS dell'espressione originale del testo assumendo c,d=1,2,3,4 (per i soliti motivi di prima) ottenendo:
$ 3^3+5^5+1+1\le RHS\le 3^3+5^5+4^4+3^3 $
Quindi si ottiene che:
$ 3154\le RHS\le 3435 $
Step 7) Ovviamente le limitazioni su RHS valgono anche su LHS perciò ottengo che:
$ 154\le 100b+10c+d\le 435 $
Da qua non riesco a concludere perchè sono un pirla e avevo sbagliato 5^5 xD
Step 1) Tutte le variabili sono minori o uguali a 5. (se fosse presente un 6 o più otterrei RHS>9999 assurdo )
Step 2) È presente un solo 5 (se ce ne fossero 2 allora a sarebbe maggiore di 5 assurdo per lo step 1). Se non ce ne fosse nessuno, affinchè a rimanga diverso da 0, dovrebbe essere a=b=c=d=4 che però non è soluzione (verifica diretta).
Step 3) a=3 per lo step 2) è presente un solo 5, inoltre RHS rimane sempre minore di 4000 perchè anche se le variabili diverse da 5 sono 4 RHS=3125+256*4<4000. Inoltre RHS>3000 (è presente tra gli addendi 3025) perciò la cifra delle migliaia è 3==> a=3.
Step 4) Sostituisco a=3 ottenendo:
$ 2973+100b+10c+d=b^b+c^c+d^d $
Noto che LHS è compreso tra 2973+115 e 2973+544 da cui anche LHS lo è... ma so gia che è presente un 3125 che assumo (non proprio WLOG ma non saprei qual'è il termine esatto) essere b (tratto le variabili come se fosse un espressione simmetrica).. ottenendo:
$ 2973+115-3125\le c^c+d^d\le 2973+544-3125 \Rightarrow c^c+d^d\le 392 $
Step 5) Tramite l'ultima disequazione si deduce che tra b,c,d esiste al massimo un 4.
Step 6) Sostituisco nel RHS dell'espressione originale del testo assumendo c,d=1,2,3,4 (per i soliti motivi di prima) ottenendo:
$ 3^3+5^5+1+1\le RHS\le 3^3+5^5+4^4+3^3 $
Quindi si ottiene che:
$ 3154\le RHS\le 3435 $
Step 7) Ovviamente le limitazioni su RHS valgono anche su LHS perciò ottengo che:
$ 154\le 100b+10c+d\le 435 $
Da qua non riesco a concludere perchè sono un pirla e avevo sbagliato 5^5 xD
Ultima modifica di dario2994 il 09 nov 2009, 17:34, modificato 2 volte in totale.
$ 5^5=3125 $. Forse dovresti modificare qualche numero nella tua soluzione.....dario2994 ha scritto:è presente tra gli addendi 3025
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)
Maledetti fisici! (cit.)
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