Siano dati n polinomi non costanti a coefficienti razionali tali che l'insieme dei primi sia un sottoinsieme dell'unione delle loro immagini (da controimmagini intere).
Mostrare che almeno uno di essi è lineare.
P sottoinsieme di I_1 U I_2 U... U I_N allora p_i è lineare
P sottoinsieme di I_1 U I_2 U... U I_N allora p_i è lineare
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Siano $ p_1(x), \cdots, p_n(x) $ i polinomi; definiamo per ogni $ 1\leq i\leq n $ l'insieme $ A_i=\{m\in\mathbb{N}|p_i(m)>0\} $ e la somma $ S_i=\sum_{j\in A_i}\frac{1}{p_i(j)} $. Si ha allora che $ S_i $ converge se e solo se $ p_i(x) $ ha grado maggiore di 1, mentre diverge se $ p_i(x) $ è lineare. Poiché $ \sum_{i=1}^{n}S_i $ diverge solo se almeno uno dei polinomi è lineare e deve divergere in quanto contiene la somma degli inversi dei primi, che diverge, necessariamente almeno uno dei polinomi deve essere lineare.
La somma degli inversi dei primi diverge. Si ha infatti che $ \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{1}{i}=\prod_{p\in\mathbb{P}}\frac{p}{p-1}=+\infty $, dunque avremo anche $ \sum_{p\in\mathbb{P}} \ln (1+\frac{1}{p-1})=+\infty $. Ora per ogni naturale $ n $ si ha $ \ln (1+\frac{1}{n})< \frac{1}{n} $ perché $ (1+\frac{1}{n})^n<e $; dunque abbiamo che la somma $ \sum_{p\in\mathbb{P}}\frac{1}{p-1} $ diverge, e a questo punto basta sostituire ad ogni frazione $ \frac{1}{p-1} $ la frazione $ \frac{1}{q} $, dove $ q $ è il numero primo immediatamente prima di $ p $ (ovviamente bisogna ammazzare il 2).
Per quanto riguarda la convergenza della somma degli inversi dei valori positivi di un polinomio da controimmagini intere, ci si riconduce facilmente ai polinomi del tipo p(x)=x^m con m naturale, e per questi la questione è abbastanza famosa.
La somma degli inversi dei primi diverge. Si ha infatti che $ \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{1}{i}=\prod_{p\in\mathbb{P}}\frac{p}{p-1}=+\infty $, dunque avremo anche $ \sum_{p\in\mathbb{P}} \ln (1+\frac{1}{p-1})=+\infty $. Ora per ogni naturale $ n $ si ha $ \ln (1+\frac{1}{n})< \frac{1}{n} $ perché $ (1+\frac{1}{n})^n<e $; dunque abbiamo che la somma $ \sum_{p\in\mathbb{P}}\frac{1}{p-1} $ diverge, e a questo punto basta sostituire ad ogni frazione $ \frac{1}{p-1} $ la frazione $ \frac{1}{q} $, dove $ q $ è il numero primo immediatamente prima di $ p $ (ovviamente bisogna ammazzare il 2).
Per quanto riguarda la convergenza della somma degli inversi dei valori positivi di un polinomio da controimmagini intere, ci si riconduce facilmente ai polinomi del tipo p(x)=x^m con m naturale, e per questi la questione è abbastanza famosa.
Sono il cuoco della nazionale!
