Potenza ottenibile aggiungendo cifre ad un'altra potenza

[dario2994]

Questo problema mi è venuto in mente come generalizzazione di un altro problema. Il problema se non vado errato era il 3 delle balkan del 1984. Forse è un fatto noto... ma comunque la dimostrazione è caruccia :)

Dato $ $m\in\mathbb{N} $ per quali $ $a\in\mathbb{N} $ esiste $ $n\in\mathbb{N} $ con $ $n>m $ tale che aggiungendo cifre alla sinistra della rappresentazione decimale di $ $a^m $ si ottiene $ $a^n $?

[jordan]

Per ogni a non multiplo di 10, infatti se è multiplo di 10 per n>m avrà sempre "più zeri in coda", altrimenti è sufficiente che $ \displaystyle 10^{m \lfloor \text{Log}_{10}(a) \rfloor+1 } \mid a^n-a^m $, e la soluzione esiste. []

[dario2994]

Uhm jordan... sicuro?
Perchè io (forse erroneamente) ho dimostrato che tipo per
a=555555 non è possibile... eppure non è divisibile per 10 :|

[kn]

Se si accetta una risposta a parole: per tutti gli $ ~a $ tali che vale una delle seguenti:
- $ ~a=0 $ (con $ ~m>0 $)
- $ ~\upsilon_2(a)=0 $ e $ ~\upsilon_5(a)=0 $
- $ ~\upsilon_2(a)=0 $ e $ ~m\upsilon_5(a) $ non è superato dal numero di cifre di $ ~a^m $
- $ ~\upsilon_5(a)=0 $ e $ ~m\upsilon_2(a) $ non è superato dal numero di cifre di $ ~a^m $

Corretta la castroneria

[dario2994]

kn: giusto :) Anche se la seconda condizione può migliorare... diventando $ $\upsilon_2(a) $oppure $ $\upsilon_5(a) $ non sono superati dal numero di cifre di a.
Ora qualcuno dovrebbe mettere la dimostrazione però...