due equazioni in quattro incognite

[jordan]

Esiste $ (a,b) \in \mathbb{N}_0^2 $ tale che il sistema:
i) $ xy+zw=a $
ii) $ xz+yw=b $
iii) $ a \neq b $
ha infinite soluzioni in $ (x,y,z,w) \in \mathbb{Z}^4 $?


(IMAR, Bucharest, 2009)

[Giuseppe M.]

Suppongo $ a>b $, che non riduce la generalità vista la forma identica delle due equazioni.
Sommando e sottraendo membro a membro le due equazioni ottengo:
$ (y+z)(x+w)=a+b $
$ (y-z)(x-w)=a-b $
Poichè x, y, z e w sono interi, nessuno dei fattori a primo membro può essere maggiore in modulo del termine a secondo membro, visto che nessun fattore può avere modulo minore di 1.
$ -a-b<y+z<a+b $
$ -a+b<y-z<a-b $
Sommo membro a membro le due catene di disuguaglianze e divido per 2:
$ -a<y<a $
Sfruttando di nuovo la prima catena:
$ -a-b-y<z<a+b-y $
$ -a-b-max(y)<z<a+b-min(y) $
$ -2a-b<z<2a+b $
Si è mostrato che, fissati $ a $ e $ b $, $ y $ e $ z $ possono assumere un set finito di valori. Stessa dimostrazione la si può eseguire per $ x $ e $ w $.
Allora le quaterne candidabili a essere soluzione del sistema, sono un numero finito. Non si possono avere infinite soluzioni.