I battaglioni
I battaglioni
Un generale ha diviso l’esercito in battaglioni comprendenti ciascuno un numero di tre cifre di soldati. Se si uniscono due battaglioni si ottiene un quadrato perfetto; se si uniscono tre battaglioni, invece, per ottenere un quadrato perfetto il generale deve unirsi ai suoi uomini. Quanti soldati ci sono in un battaglione?
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]
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exodd
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un po' di precisazioni
- si può prendere ogni coppia\terna di battaglioni?
- il numero di soldati in un battaglione è lo stesso?
- si può prendere ogni coppia\terna di battaglioni?
- il numero di soldati in un battaglione è lo stesso?
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
ispiratore del BTAEvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
Imposto il sistema:
$ $2a=x^2 $
$ $3a+1=y^2 $
$ $200<x^2<2000\Rightarrow 10\sqrt{2}<x<20\sqrt{5} $
Dal primo ricavo 2|x e 2|a quindi sostituisco x=2x' e a=2a' ottenendo:
$ a'=x'^2 $
$ 6a'+1=y^2 $
Sostituisco la prima nella seconda:
$ 6x'^2+1=y^2 $
Modulo 4 ottengo 2|x' quindi pongo x'=2x'' ottenendo:
$ 24x''^2+1=y^2 $
Con la condizione iniziale modificata che diviene:
$ $\frac{5\sqrt{2}}{2}<x''<5\sqrt{5} $
Ma poichè x'' è intero posso porre:
$ 3<x''<12 $
Ora non rimane che provare tutti i casi :| ottenendo che l'unico che soddisfa è x''=10 da cui si ricava x=40 e sostituendo a=800.
Comunque penso ci sia una soluzione migliore... perchè soprattutto il finale della mia è molto contoso (sempre che sia giusta xD).
$ $2a=x^2 $
$ $3a+1=y^2 $
$ $200<x^2<2000\Rightarrow 10\sqrt{2}<x<20\sqrt{5} $
Dal primo ricavo 2|x e 2|a quindi sostituisco x=2x' e a=2a' ottenendo:
$ a'=x'^2 $
$ 6a'+1=y^2 $
Sostituisco la prima nella seconda:
$ 6x'^2+1=y^2 $
Modulo 4 ottengo 2|x' quindi pongo x'=2x'' ottenendo:
$ 24x''^2+1=y^2 $
Con la condizione iniziale modificata che diviene:
$ $\frac{5\sqrt{2}}{2}<x''<5\sqrt{5} $
Ma poichè x'' è intero posso porre:
$ 3<x''<12 $
Ora non rimane che provare tutti i casi :| ottenendo che l'unico che soddisfa è x''=10 da cui si ricava x=40 e sostituendo a=800.
Comunque penso ci sia una soluzione migliore... perchè soprattutto il finale della mia è molto contoso (sempre che sia giusta xD).
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karlosson_sul_tetto
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Ho la vaga impressione che le risposte siano si.exodd ha scritto:un po' di precisazioni
- si può prendere ogni coppia\terna di battaglioni?
- il numero di soldati in un battaglione è lo stesso?
Riformulo matematicamente:
$ X:Y=Z=A\cdot100+B\cdot10+C $
$ 2 \cdot Z=D^2 $
$ 3 \cdot Z+1=E^2 $
Trovare $ $Z $
"Inequality happens"
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"Chissa se la fanno anche da asporto"
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"Chissa se la fanno anche da asporto"
Scusate la mancanza di chiarezza; sì, il numero di soldati in un battaglione è costante.
La soluzione di Dario 2994 è giusta, e non ne ho una meno contosa. Sarebbe bello se qualcuno ne trovasse una più elegante.
La soluzione di Dario 2994 è giusta, e non ne ho una meno contosa. Sarebbe bello se qualcuno ne trovasse una più elegante.
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]
Sia $ x \in \mathbb{Z} \cap [10^2,10^3) $ il numero cercato. Dato che $ 2x $ è un quadrato allora $ x=2y^2 $ per qualche $ y \in \mathbb{Z} \cap [8,22] $. Ma anche $ 3x+1 $ è un quadrato per cui esiste $ z \in \mathbb{Z} $ tale che $ 3x+1=6y^2+1=z^2 $. Ma $ z^2-6y^2=1 $ è un'equazione di Pell di cui possiamo trovare tutte le soluzioni in $ \mathbb{Z} $. Dato che $ (z_0,y_0)=(5,2) $ è la più piccola soluzione, tutte le altre $ (z_n,y_n) \in \mathbb{Z}^2 $ soddisfano $ z_n+y_n\sqrt{6}=\pm(5+2\sqrt{6})^n $ per qualche $ n \in \mathbb{N}_0 $. E' evidente per due interi $ a>b>0 $ vale $ |y_a| > |y_b| $, per cui è sufficiente provare i più piccoli valori di $ n \in \mathbb{N}_0 $: abbiamo che $ z_2+y_2\sqrt{6}=\pm(49+20\sqrt{6}) $ e $ z_3+y_3\sqrt{6}=\pm(161+156\sqrt{6}) $ il che mostra che l'unica soluzione accettabile è $ y=20 \implies x=800 $. []jordan ha scritto:A Pelle...
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Bah oddio sul significato di "elementare" ci sarebbe molto da discutere, ma comunque non mi pare il caso neanche di aprire il thread, dato che al file che allego ci dovrebbe stare tutto il necessario 
- Allegati
-
- pelleqn_ddj.pdf
- (54.13 KiB) Scaricato 719 volte
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Uhm... premesso che quel PDF è fantastico xD Ho capito perfettamente come si risolvono le equazioni di Pell ma mi sono completamente perso quando generalizza alle equazioni come:
$ N(z)=a $
Puoi darmi una mini-spiegazione su come si fanno queste... grazie.
Consiglio a tutti di leggersi quel documento perchè è più che chiaro e le dimostrazioni sono abbastanza elementari :)
$ N(z)=a $
Puoi darmi una mini-spiegazione su come si fanno queste... grazie.
Consiglio a tutti di leggersi quel documento perchè è più che chiaro e le dimostrazioni sono abbastanza elementari :)
Ultima modifica di dario2994 il 15 nov 2009, 11:10, modificato 3 volte in totale.
Azzjordan ha scritto:Sia $ x \in \mathbb{Z} \cap [10^2,10^3) $ il numero cercato. Dato che $ 2x $ è un quadrato allora $ x=2y^2 $ per qualche $ y \in \mathbb{Z} \cap [8,22] $. Ma anche $ 3x+1 $ è un quadrato per cui esiste $ z \in \mathbb{Z} $ tale che $ 3x+1=6y^2+1=z^2 $. Ma $ z^2-6y^2=1 $ è un'equazione di Pell di cui possiamo trovare tutte le soluzioni in $ \mathbb{Z} $. Dato che $ (z_0,y_0)=(5,2) $ è la più piccola soluzione, tutte le altre $ (z_n,y_n) \in \mathbb{Z}^2 $ soddisfano $ z_n+y_n\sqrt{6}=\pm(5+2\sqrt{6})^n $ per qualche $ n \in \mathbb{N}_0 $. E' evidente per due interi $ a>b>0 $ vale $ |y_a| > |y_b| $, per cui è sufficiente provare i più piccoli valori di $ n \in \mathbb{N}_0 $: abbiamo che $ z_2+y_2\sqrt{6}=\pm(49+20\sqrt{6}) $ e $ z_3+y_3\sqrt{6}=\pm(161+156\sqrt{6}) $ il che mostra che l'unica soluzione accettabile è $ y=20 \implies x=800 $. []jordan ha scritto:A Pelle...
Per una volta che ero riuscito a cogliere un suggerimento nascosto di Jordan, lui posta la soluzione nemmeno 10 ore dopo
[i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.
[/i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.
[/i]
Ehehdario2994 ha scritto:Uhm... premesso che quel PDF è fantastico xD
Good, non ci avevo mai pensato a quella riformulazione di imo81/3..dario2994 ha scritto:..Per esempio una cosa come
$ $N(z)=\pm 4 $ con $ $z\in\mathbb{Z}[\sqrt{5}] $
come si risolve usando le equazioni di Pell? (IMO 1981 es 3)
Comunque si, se trovi la minima, le trovi tutte
@Haile, la prossima volta lo lascio a te
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Bueno grazie... praticamente con ste equazioni di Pell si riconduce un IMO 3 direi tostissimo (soprattutto per l'anno) ad un banale problema contoso... figo xD
Se non vado errato sfruttando le equazioni di Pell si trovano tutte le soluzioni intere (x,y) di qualunque equazione nella forma:
$ $x^2+axy+by^2+c=0 $
Che dovrebbe essere equivalente a risolvere:
$ $N(z)=-4c $ con $ $z\in\mathbb{Z}[\sqrt{a^2-4b}] $
Se non vado errato sfruttando le equazioni di Pell si trovano tutte le soluzioni intere (x,y) di qualunque equazione nella forma:
$ $x^2+axy+by^2+c=0 $
Che dovrebbe essere equivalente a risolvere:
$ $N(z)=-4c $ con $ $z\in\mathbb{Z}[\sqrt{a^2-4b}] $
Ultima modifica di dario2994 il 15 nov 2009, 11:45, modificato 1 volta in totale.
Se ti riferisci a questa soluzione posso dirti che il 90% è tutto fumo, l'idea di base è molto più semplice dal dedurre ex-novo tutte le soluzioni a una equazione generale di Pell (riguardo la domanda che mi hai fatto in quel thread, quando ho postato credo che mi ha mangiato un pezzo del messaggio, comunque puoi controllare direttamente su SciMat); oltretutto ho appena guardato la soluzione ufficiale sull'imo compendium, e direi che cambieresti idea vedendola
Riguardo la tua ultima domanda: se $ a^2-4b $ non è un quadrato usi questo, altrimenti lo sapevi già fare giorni fa (Esatto, abbiamo editato insieme XD)
Riguardo la tua ultima domanda: se $ a^2-4b $ non è un quadrato usi questo, altrimenti lo sapevi già fare giorni fa
(Esatto, abbiamo editato insieme XD)The only goal of science is the honor of the human spirit.