Esercizio sui numeri complessi

[pikkioroco90]

Sia z un numero complesso. Dimostrare che z e reale se e solo se z^221 e
z^15 sono reali.

Suggerimento: se z = 0 non c'e nulla da dimostrare. Se
z diverso da 0, allora z è invertibile e z^-n = (z^n)^-1. . . )

[Ani-sama]

Mi sembra che il risultato valga in una veste più generale. Cioè, dato $ z \in \mathbb C $, $ z $ è reale se e solo se esistono due interi positivi $ m,n $ e coprimi tali che $ z^m $ e $ z^n $ sono entrambi reali. Anzi: per ogni coppia di interi positivi $ m,n $ coprimi, se $ z^m $ e $ z^n $ sono reali, allora anche $ z $ lo è.

[pikkioroco90]

Questo perchè

z=ρ(cosθ+isinθ)

z^n=ρ^n(cosnθ+isinnθ)
z^m=ρ^m(cosmθ+isinmθ)

affinchè z sia reale deve essere sinθ=0.
Affinchè z^n e z^m siano reali invece deve risultare contemporaneamente sinnθ=sinmθ=0, che se n e m sono coprimi è verificato solo per θ=kπ, che annulla anche sinθ.


Ma allora il suggerimento?

[Ani-sama]

[...]Affinchè z^n e z^m siano reali invece deve risultare contemporaneamente sinnθ=sinmθ=0, che se n e m sono coprimi è verificato solo per θ=kπ, che annulla anche sinθ.

Quel che dici qui è un bel po' impreciso. O meglio, non è ben formalizzato. Prova a svolgere tutti i passaggi nei dettagli...

[kn]

solo per θ=kπ, che annulla anche sinθ.

Grazie per la dedica.. Cmq credo che questo possa aiutare