I battaglioni

[Giuseppe R]

Uhm... premesso che quel PDF è fantastico xD Ho capito perfettamente come si risolvono le equazioni di Pell ma mi sono completamente perso quando generalizza alle equazioni come:
$ N(z)=a $
Puoi darmi una mini-spiegazione su come si fanno queste... grazie.
Consiglio a tutti di leggersi quel documento perchè è più che chiaro e le dimostrazioni sono abbastanza elementari

Io invece proprio questo non ho capito... non è che potrebbe dirmelo qualcuno?

[dario2994]

Praticamente se hai da risolvere $ $ N(z)=a $ con $ $ z\in\mathbb{Z}[\sqrt{n}] $, allora chiamato $ $z_0 $ la più piccola soluzione non banale di $ $N(z)=1 $ con $ $ z\in\mathbb{Z}[\sqrt{n}] $ e $ $k_0 $ la più piccola soluzione non banale di $ $ N(z)=a $ allora tutte le soluzioni cercate (dell'equazione originale) sono della forma:
$ $ z=k_0\cdot z_0^m $
Che queste siano soluzione si dimostra notando che $ $ N(a)\cdot N(b)=N(ab) $; invece che quelle siano le uniche soluzioni non lo saprei dimostrare (è presente la dimostrazione dell'unicità nel documento solo per il caso N(z)=1... penso si ricavi banalmente da quella, ma non l'ho letta quindi non saprei dirti)

p.s. è possibile che abbia scritto cazzate...

[Giuseppe R]

Chiarissimo, grazie 1000.

[FrancescoVeneziano]

Praticamente se hai da risolvere $ $ N(z)=a $ con $ $ z\in\mathbb{Z}[\sqrt{n}] $, allora chiamato $ $z_0 $ la più piccola soluzione non banale di $ $N(z)=1 $ con $ $ z\in\mathbb{Z}[\sqrt{n}] $ e $ $k_0 $ la più piccola soluzione non banale di $ $ N(z)=a $ allora tutte le soluzioni cercate (dell'equazione originale) sono della forma:
$ $ z=k_0\cdot z_0^m $

Questo è falso. Le soluzioni sono della forma $ k_i\cdot z_0^m $ dove i $ k_i $ sono un numero finito (ed esplicitamente calcolabile) di soluzioni a $ N(z)=a $, ma non è detto che prenderne una basti per ottenerle tutte.

[dario2994]

... Mi pareva di aver capito che basta prendere la più piccola :| Non è così?
Quali devo prendere?

[FrancescoVeneziano]

No, non è così; il motivo è che il rapporto tra due elementi di norma a ha sì norma 1, ma non è detto che sia intero, quindi non puoi concludere che è una potenza di $ z_0 $. Ovviamente dividendo per l'opportuna potenza di $ z_0 $ puoi sempre mandare una qualunque soluzione nell'intervallo $ [1,z_0] $, quindi (come dice chiaramente il pdf linkato da jordan...) ti basta prendere le soluzioni dell'equazione originale comprese tra 1 e $ z_0 $. È un semplice esercizio che ti invito a fare verificare che queste sono in numero finito e che si possono trovare tutte esplicitamente.