(Mosp 2004)
p|n^3-1 e n|p-1 allora 4p-3 è quadrato
p|n^3-1 e n|p-1 allora 4p-3 è quadrato
Siano fissati un intero n>1 e un primo p tali che n|p-1 e p|n³-1. Allora 4p-3 è sempre un quadrato.
(Mosp 2004)
(Mosp 2004)
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Allora... prima di tutto la seconda divisibilità diventa facilmente:
$ $p|n^2+n+1 $
Ora trasformo le ipotesi in:
$ $p-1=an $
$ $n^2+n+1=bp $
Dalla prima ottengo p e lo vado a sostituire nella seconda:
$ $n^2+(1-ab)n+(1-b)=0 $
Il discriminante di quest'equazione è:
$ $(ab-1)^2-4+4b $
Noto che a meno che b sia 1 è maggiore del quadrato di (ab-1).
Svolgendo i calcoli noto che a meno di a=1 è anche minore del quadrato di (ab).
Quindi se $ $a\not=1\ e\ b\not=1 $ il delta è compreso tra due quadrati quindi l'equazione originale non ha soluzioni intere per n che è un assurdo.
Analizzo i casi a=1 e b=1.
$ $a=1\Rightarrow p=n+1 $ sostituendo nell'altra divisiblità si ottiene $ $n+1|n^2+n+1\Rightarrow n+1|n $ assurdo.
Nel caso di b=1 si ottiene $ $p=n^2+n+1 $ da cui deriva:
$ $4p-3=4n^2+4n+1=(2n+1)^2 $ che è la tesi.
$ $p|n^2+n+1 $
Ora trasformo le ipotesi in:
$ $p-1=an $
$ $n^2+n+1=bp $
Dalla prima ottengo p e lo vado a sostituire nella seconda:
$ $n^2+(1-ab)n+(1-b)=0 $
Il discriminante di quest'equazione è:
$ $(ab-1)^2-4+4b $
Noto che a meno che b sia 1 è maggiore del quadrato di (ab-1).
Svolgendo i calcoli noto che a meno di a=1 è anche minore del quadrato di (ab).
Quindi se $ $a\not=1\ e\ b\not=1 $ il delta è compreso tra due quadrati quindi l'equazione originale non ha soluzioni intere per n che è un assurdo.
Analizzo i casi a=1 e b=1.
$ $a=1\Rightarrow p=n+1 $ sostituendo nell'altra divisiblità si ottiene $ $n+1|n^2+n+1\Rightarrow n+1|n $ assurdo.
Nel caso di b=1 si ottiene $ $p=n^2+n+1 $ da cui deriva:
$ $4p-3=4n^2+4n+1=(2n+1)^2 $ che è la tesi.