CentroAmerican 2009 - 2

[mod_2]

Due circonferenze $ $\Gamma_1$ $ e $ $\Gamma_2$ $ si intersecano nei punti A e B. Consideriamo una circonferenza $ $\Gamma$ $ che è contenuta in $ $\Gamma_1$ $ e $ $\Gamma_2$ $ e tangente ad entrambe rispettivamente nei punti D e E. Sia C una delle intersezioni della retta AB con $ $\Gamma$ $, F l'intersezione della retta EC con $ $\Gamma_2$ $ e G l'intersezione della retta DC con $ $\Gamma_1$ $. Siano H e I rispettivamente i punti di intersezione della retta DE con $ $\Gamma_1$ $ e $ $\Gamma_2$ $.
Dimostrare che il quadrilatero FGHI è ciclico.

Buon lavoro!

[Reginald]

... ...caspita non capisco il disegno cavolo....

G l'intersezione della retta DC con $ $\Gamma_1$ $. Siano H e I rispettivamente i punti di intersezione della retta DC con $ $\Gamma_1$ $ e $ $\Gamma_2$ $.
Dimostrare che il quadrilatero FGHI è ciclico.

..Ma allora sia il punto G che H che I stanno sulla retta che passa per D e C?

[karlosson_sul_tetto]

... ...caspita non capisco il disegno cavolo....

G l'intersezione della retta DC con $ $\Gamma_1$ $. Siano H e I rispettivamente i punti di intersezione della retta DC con $ $\Gamma_1$ $ e $ $\Gamma_2$ $.
Dimostrare che il quadrilatero FGHI è ciclico.

..Ma allora sia il punto G che H che I stanno sulla retta che passa per D e C?

E $ G $ e $ H $ non sarebbero lo stesso punto?

[mod_2]

Corretto!

[Reginald]

Hai la soluzione??ci sbatto la testa da tanto..

[kn]

Io ho percorso questa strada:
1) Dimostro che EDFG è ciclico sfruttando il fatto che C sta sull'asse radicale
2) Se le circonferenze grandi avessero lo stesso raggio la tesi sarebbe ovvia per ragioni di simmetria, quindi lo suppongo diverso e prendo le tangenti comuni che si intersecano nel loro centro di omotetia X
3) Esiste un'inversione di raggio XA che ha centro nel centro di omotetia suddetto che manda ogni circonferenza grande nell'altra
4) La circonferenza tangente (quella piccola) viene trasformata in se stessa da questa inversione
5) FG tange le due circonferenze grandi (la tangente in E, EF e FG delimitano un triangolo isoscele), quindi FG passa per X
6) Sfrutto l'omotetia+l'inversione per dire che XH*XI=XE*XD
7) Essendo XE*XD=XG*XF ottengo XH*XI=XG*XF, cioè la tesi
Quando ho tempo risistemo tutto..

[mod_2]

Bravo kn!

Ecco un'altra dimostrazione:
1) EDFG ciclico perché C sta sull'asse radicale => $ $\widehat{FED} \cong \widehat{DGF}$ $.
2) HG//EC e DC//IF (*) => $ $\widehat{FIE} \cong \widehat{CDE}$ $, $ $\widehat{DCE} \cong \widehat{DGH}$ $, $ $\widehat{GHD} \cong \widehat{CED}$ $.
3) Per i due punti precedenti $ $\widehat{HIF}+\widehat{FGH}=180°$ $

(*) E' un piccolo lemma:
Disegniamo due circonferenze tangenti internamente. Tracciamo due secanti che passano per il punto di tangenza. Queste due secanti incontrano ogni circonferenza in due punti (oltre naturalmente al punto di tangenza). Disegniamo la corda che ha per gli estremi questi due punti individuati sulla circonferenza più interna e facciamo la stessa cosa anche su quella esterna. Si può dimostrare (tracciando eventualmente i diametri) che queste due corde sono parallele.

[Reginald]

Grazie mille

[Dani92]

Bravo kn!

.
2) HG//EC e DC//IF (*) => $ $\widehat{FIE} \cong \widehat{CDE}$ $, $ $\widehat{DCE} \cong \widehat{DGH}$ $, $ $\widehat{GHD} \cong \widehat{CED}$ $.

(*) E' un piccolo lemma:
Disegniamo due circonferenze tangenti internamente. Tracciamo due secanti che passano per il punto di tangenza. Queste due secanti incontrano ogni circonferenza in due punti (oltre naturalmente al punto di tangenza). Disegniamo la corda che ha per gli estremi questi due punti individuati sulla circonferenza più interna e facciamo la stessa cosa anche su quella esterna. Si può dimostrare (tracciando eventualmente i diametri) che queste due corde sono parallele.

Non capisco.... Gli angoli verde e rosso sono chiaramente diversi... come mai?

Dove sbaglio?

[mod_2]

Hai scambiato D con E.

[Dani92]

Scusate.... non è giornata...

Mi potete spiegare perchè potete dire che è ciclico essendo sull'asse radicale? che significa?

[Il re]

Anche io non capisco perchè potete dire che è ciclico deducendolo dal fatto che c è sull'asse..

[mod_2]

Per la definizione di asse radicale (la potenza di $ $C$ $ rispetto a $ $\Gamma_1$ $ è uguale alla potenza di $ $C$ $ rispetto a $ $\Gamma_2$ $): $ $CD \cdot CG = EC \cdot CF$ $.
Hai due triangoli simili opposti al vertice $ $C$ $, da ciò $ $EDFG$ $ ciclico.