Disuguaglianza simpatica

[Maioc92]

Siano $ a,b,c,d $ reali positivi tali che $ a+b+c+d=1 $.
Dimostrare che
$ \displaystyle\sum_{cyc}\frac{a^3}{a+b}\ge\frac 1 8 $

[karl]

La dimostrazione si consegue con la ineguaglianza di Holder generalizzata.
La riporto nella forma che conosco io.Siano dati allora nk valori positivi
$ \dispalystyle a_{ij} $ ed altri k valori positivi $ \displaystyle p_i $ tali che sia:
$ \displaystyle p_1+p_2+\cdot \cdot+p_k=1 $
Allora risulta:
$ \displaystyle (a_{11}+a_{12}+\cdot \cdot +a_{1n})^{p_1} \cdot (a_{21}+a_{22}+\cdot \cdot +a_{2n})^{p_2} \cdot \cdot (a_{k1}+a_{k2}+\cdot \cdot +a_{kn})^{p_k} \ge $

$ \displaystyle \ge [a_{11}^{p_1}\cdot a_{21}^{p_2}\cdot \cdot a_{k1}^{p_k}] +[a_{12}^{p_1}\cdot a_{22}^{p_2}\cdot \cdot a_{k2}^{p_k}]+\cdot \cdot+[a_{1n}^{p_1}\cdot a_{2n}^{p_2}\cdot \cdot a_{kn}^{p_k}] $
Scegliendo ora $ \displaystyle n=4,k=3,p_i=\frac{1}{3} $ e gli $ \displaystyle a_{ij} $ in maniera opportuna si ha:
$ \displaystyle ( \frac {a^3}{a+b}+\frac{b^3}{b+c}+\frac{c^3}{c+d}+\frac{d^3}{d+a})^{\frac{1}{3}} \cdot (1+1+1+1)^{\frac{1}{3}} $$ \cdot [(a+b)+(b+c)+(c+d)+(d+a)]^{\frac{1}{3}} \ge $
$ \displaystyle \ge [ \frac{a^3}{a+b} \cdot 1 \cdot (a+b) ]^{\frac{1}{3}}+[ \frac{b^3}{b+c} \cdot 1 \cdot (b+c)]^{\frac{1}{3}}+[ \frac{c^3}{c+d} \cdot 1 \cdot (c+d)]^{\frac{1}{3}}+[ \frac{d^3}{d+a} \cdot 1 \cdot (d+a)]^{\frac{1}{3}} $
Tenuto conto che a+b+c+d=1 risulta:
$ \displaystyle ( \frac {a^3}{a+b}+\frac{b^3}{b+c}+\frac{c^3}{c+d}+\frac{d^3}{d+a})^{\frac{1}{3}} \cdot 4^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}\ge1 $
da cui elevando al cubo discende la tesi.

[dario2994]

ODDIO :|
Lo chiedo perchè sono una pippa immonda con le disuguaglianze (il che deriva forse anche dal fatto che ne conosco in tutto 3... bunching, medie e riarrangiamento xD), non è che qualcuno potrebbe dirmi come si può mai arrivare ad una cosa del genere :| Intendo che mi sembra alquanto assurdo che così di punto in bianco mi venga in mente di usare holder generalizzato come una specie di miracolo divino. Non chiedo nessun flusso di pensiero... solo una mini-spiegazione di cosa provare e di come illuminarsi...

[Maioc92]

Tutto giusto, anche io l'avevo risolto con Cauchy Schwarz a 3 specie (infatti la soluzione è molto elegante in questo modo).
Comunque devo ringraziarti non poco perchè mi hai mostrato una disuguaglianza che non conoscevo affatto e che mi sembra bella potente!!!
In pratica da questa disuguaglianza segue la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz a n specie come caso particolare...ottimo

[karl]

Suggerirei a Dario2994 di non disperarsi troppo...Si meraviglierebbe molto se
conoscesse i tanti tentativi che ho fatto prima di arrivare ad Holder !!

[Maioc92]

ODDIO
Lo chiedo perchè sono una pippa immonda con le disuguaglianze (il che deriva forse anche dal fatto che ne conosco in tutto 3... bunching, medie e riarrangiamento xD), non è che qualcuno potrebbe dirmi come si può mai arrivare ad una cosa del genere Intendo che mi sembra alquanto assurdo che così di punto in bianco mi venga in mente di usare holder generalizzato come una specie di miracolo divino. Non chiedo nessun flusso di pensiero... solo una mini-spiegazione di cosa provare e di come illuminarsi...

beh se ti interessa ecco cosa ho pensato io di fronte a questa disuguaglianza in particolare...
Allora, inizio guardando se è omogenea.
In genere se una disuguaglianza è omogenea e non troppo mostruosa come testo funziona porre abc=1, farsi i calcoli e poi sistemare il tutto con un abbondante uso di AM-GM (che alla fine è l'unica parte che richiede un minimo di ragionamento). Oppure, sempre se è omogenea, si fanno tutti i calcoli direttamente e alla fine dovrebbe venire per bunching (come piace a te ). In genere non uso mai questa strada (cioè il bunching) perchè rende il problema quasi scolastico e toglie il gusto di pensarci....
In questo caso ovviamente non è omogenea. Cosa significa? Significa che non è per nulla conveniente provare a fare i conti. Volendo ci si può provare lo stesso, utilizzando la condizione data dal testo per tentare di renderla omogenea, e alla fine cercare di sistemare il tutto con disuguaglianze più o meno note. Però a me è sembrata abbastanza sconveniente come strada, quindi ho considerato che forse era meglio tenerla nella forma in cui si trovava.

A questo punto bisogna però trovare un modo di dimostrarla in questa forma...Cosa mi conviene usare?
Un cambio di variabili? No, perchè sarebbe un casino e basta, visto che ho una somma di grado 1 al denominatore e un cubo al numeratore.
Boh, vediamo tra le disuguaglianze più note cosa può essere utile.
Medie? Forse dopo, ma per iniziare serve qualcos'altro perchè le disuguaglianze tra medie sono impraticabili
Riarrangiamento? Non credo proprio...intuitivamente mi pare di non poter ottenere nulla di utile.
Cauchy-Schwarz?Mmm... Qua le cose si fanno interessanti. Moltiplicando per 2(a+b+c+d) ed usando cauchy schwarz mando via i denominatori e nello stesso tempo sfrutto la condizione a+b+c+d=1, quindi mi viene da pensare di essere sull'ottima strada. Però provando la versione basilare, quella a due specie, spuntano fuori dei 3/2 all'esponente, che sembrano difficili da eliminare in seguito (in realtà si può con la disuguaglianza generica tra medie, ma è preferibile rimanere su metodi classici, almeno all'inizio).
Quindi Cauchy Schwarz a due specie non funziona del tutto, però sembra che la strada sia quella...ehi ma aspetta, non esiste una generalizzazione? In questo caso ho un cubo da eliminare, quindi la versione a 3 specie dovrebbe calzare a pennello (ovviamente come terza specie si usa una serie di 1, questo è un trucchetto standard quando si usa cauchy schwarz)....proviamo:


$ \displaystyle (1+1+1+1)((a+b)+(b+c)+(c+d)+(a+d))(\frac{a^3}{a+b}+\frac{b^3}{b+c}+\frac{c^3}{c+d}+\frac{d^3}{a+d})\ge (a+b+c+d)^3 $
Sistemiamo il tutto:
$ \displaystyle \frac{a^3}{a+b}+\frac{b^3}{b+c}+\frac{c^3}{c+d}+\frac{d^3}{a+d}\ge \frac{(a+b+c+d)^3}{8(a+b+c+d)}=\frac 1 8 $
che è esattamente la tesi.
A questo punto non rimane altro da fare che esultare per aver risolto il problema

Spero che tutto questo possa essere d'aiuto, anche se forse io non sono il più adatto a dare consigli (ma forse il più adatto a riceverne)

[dario2994]

Davvero utile e chiarissimo È così che si impara qualcosa di nuovo
Penso di averlo capito ma meglio assicurarsene... cosa dice cauchy schwarz generalizzata?
Comunque la dimostrazione è davvero istruttiva

[Maioc92]

lieto di essere stato utile per 1 volta
Comunque Cauchy Schwarz generalizzato è identico a holder nel caso in cui tutti i p_i sono uguali. In pratica dice che date k n-uple di reali (le cosiddette specie) allora vale la disuguaglianza

$ \displaystyle (a_1^k+a_2^k....+a_n^k)(b_1^k+b_2^k...+b_n^k)....(k_1^k+k_2^k...+k_n^k)\ge (a_1b_1..k_1+a_2b_2..k_2...+a_nb_n..k_n)^k $
Più elegantemente
$ \displaystyle (\sum a_i^k)(\sum b_i^k)...(\sum k_i^k)\ge (\sum a_ib_i..k_i)^k $
Se a qualcuno interessa ho anche la dimostrazione, ne conosco solo 1 ma è veramente breve ed elegante. Posso inviarla via mp oppure aprire un post in glossario

EDIT:ho corretto un errore nel testo, scusate per la svista (in tutti gli esponenti avevo messo n invece di k)

[spugna]

lieto di essere stato utile per 1 volta
Comunque Cauchy Schwarz generalizzato è identico a holder nel caso in cui tutti i p_i sono uguali. In pratica dice che date k n-uple di reali (le cosiddette specie) allora vale la disuguaglianza

$ \displaystyle (a_1^n+a_2^n....+a_n^n)(b_1^n+b_2^n...+b_n^n)....(k_1^n+k_2^n...+k_n^n)\ge (a_1b_1..k_1+a_2b_2..k_2...+a_nb_n..k_n)^n $
Più elegantemente
$ \displaystyle (\sum a_i^n)(\sum b_i^n)...(\sum k_i^n)\ge (\sum a_ib_i..k_i)^n $
Se a qualcuno interessa anche la dimostrazione, ne conosco solo 1 ma è veramente breve ed elegante. Posso inviarla via mp oppure aprire un post in glossario

Mai sentita,ma stupenda!
P.S.:dire c****te è il mio mestiere,quindi correggimi se sbaglio:per caso con questa disuguaglianza è possibile dimostrare questa generalizzazione?
$ \displaystyle \sum_{cyc} \dfrac{a^n}{a+b} \ge 2^{3-2n} $

[Maioc92]

per caso con questa disuguaglianza è possibile dimostrare questa generalizzazione?
$ \displaystyle \sum_{cyc} \dfrac{a^n}{a+b} \ge 2^{3-2n} $

si esatto, se le variabili sono 4 e la loro somma è 1, allora dovrebbe funzionare

[Claudio.]

Scusate l'OT ma sono io che sono troppo scarso o semplicemente poco informato? Faccio il terzo anno di liceo e non ho mai sentito parlare di cose di questo genere....

[spugna]

Scusate l'OT ma sono io che sono troppo scarso o semplicemente poco informato? Faccio il terzo anno di liceo e non ho mai sentito parlare di cose di questo genere....

Neanch'io (che tra l'altro faccio la seconda). Ma le ho imparate un po' alla volta leggendo i problemi di questo forum