Data una circonferenza ed un punto A interno ad essa,si consideri la generica corda passante per A,e sia M il punto d' intersezione delle tangenti alla circonferenza nei due estremi della corda.
Determinare il luogo dei punti M.
PreIMO Cortona Pisa 2003
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federicoag
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Uhm... aver risolto il mio primo esercizio di luogo geometrico ed insieme aver per la prima volta applicato l'inversione da solo mi gasa xD Per questi motivi la dimostrazione ovviamente non è a prova di bomba...
Prima di tutto applico un inversione rispetto alla circonferenza considerata, di conseguenza il luogo dei punti cercato diviene il luogo del punto medio M delle corde. Il luogo di questi punti è la circonferenza con diametro (chiamato O il centro della circonferenza considerata) AO. Tutti i punti giacciono sulla circonferenza dato che AMO è retto e AO è il diametro della circonferenza. Inoltre ogni punto della circonferenza è il punto medio di una corda, basta tracciare la corda per quel punto e per A, incontra la circonferenza con diametro AO in 2 punti , di cui uno però è A quindi non può essere quello il punto medio (a meno che non sia la corda tangente alla circonferenza di diametro AO) perciò il punto medio dovendo appartenere a quella circonferenza sicuramente è l'altro punto.
Ora riapplico inversione mandando la circonferenza con diametro AO in una retta perpendicolare ad AO e passante per il punto ottenuto invertendo A.
Una dimostrazione del genere è facilotta solo se si conosce una definizione di inversione... che dice che un inversione manda un punto P esterno alla circonferenza d'inversione nel punto medio del segmento i cui vertici sono i punti in cui le tangenti per P toccano la circonferenza. Se si sa questo è spontaneo applicare l'inversione... ora ci si ritrova davanti a qualcosa di più facile, basta fare un disegnino e vedere che è una circonferenza con diametro AO. Sapendo questo si nota che i punti devono formare un angolo retto con AO... lo si dimostra (e poi si dimostra il viceversa banale) e poi si conclude applicando l'inversione al contrario.
Prima di tutto applico un inversione rispetto alla circonferenza considerata, di conseguenza il luogo dei punti cercato diviene il luogo del punto medio M delle corde. Il luogo di questi punti è la circonferenza con diametro (chiamato O il centro della circonferenza considerata) AO. Tutti i punti giacciono sulla circonferenza dato che AMO è retto e AO è il diametro della circonferenza. Inoltre ogni punto della circonferenza è il punto medio di una corda, basta tracciare la corda per quel punto e per A, incontra la circonferenza con diametro AO in 2 punti , di cui uno però è A quindi non può essere quello il punto medio (a meno che non sia la corda tangente alla circonferenza di diametro AO) perciò il punto medio dovendo appartenere a quella circonferenza sicuramente è l'altro punto.
Ora riapplico inversione mandando la circonferenza con diametro AO in una retta perpendicolare ad AO e passante per il punto ottenuto invertendo A.
Una dimostrazione del genere è facilotta solo se si conosce una definizione di inversione... che dice che un inversione manda un punto P esterno alla circonferenza d'inversione nel punto medio del segmento i cui vertici sono i punti in cui le tangenti per P toccano la circonferenza. Se si sa questo è spontaneo applicare l'inversione... ora ci si ritrova davanti a qualcosa di più facile, basta fare un disegnino e vedere che è una circonferenza con diametro AO. Sapendo questo si nota che i punti devono formare un angolo retto con AO... lo si dimostra (e poi si dimostra il viceversa banale) e poi si conclude applicando l'inversione al contrario.
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
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"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Il quesito si può anche risolvere osservando che la generica secante per A è la
polare m di M rispetto alla circonferenza e poichè essa retta passa per A, la
polare a di A deve passare per M ,quale che sia M.Il luogo richiesto è pertanto
proprio la retta a ed essa s'individua facilmente come la retta perpendicolare ad OA e
distante da O,centro della circonferenza,di $ \displaystyle \frac{R^2}{\bar{OA}} $ essendo R il raggio della circonferenza.
polare m di M rispetto alla circonferenza e poichè essa retta passa per A, la
polare a di A deve passare per M ,quale che sia M.Il luogo richiesto è pertanto
proprio la retta a ed essa s'individua facilmente come la retta perpendicolare ad OA e
distante da O,centro della circonferenza,di $ \displaystyle \frac{R^2}{\bar{OA}} $ essendo R il raggio della circonferenza.