qualcuno può spiegarmi...

[davideclasse92]

qualcuno può spiegarmi meglio,siccome dalle soluzioni non ho capito bene,i problemi 4,16,della gara di archimede 2009? grz

[Marta Venturi]

Il 4 ti chiede per quali numeri di salti la pulce tornerà per la PRIMA volta sul 12. Quindi fondamentalmente devi cercare dei numeri che non abbiano divisori comuni con il 12 (a parte 1), perchè se no la pulce tornerebbe sul 12 dopo un numero minore di salti.
Quindi i numeri possibili sono 1,5,7,11.

Per quanto riguarda il 16 credo di non essere la persona più indicata a spiegartelo dato che la mia soluzione è un po' arzigogolata...

[Giulio C]

Per quanto riguarda il 16: considera la prima cifra di tutti i numeri che puoi ottenere secondo le indicazioni del testo: una volta stabilita questa, ti rimangono altre tre cifre da disporre, e puoi farlo in sei modi diversi (chiamiamo le tre cifre rimaste $ a, b, c $: si possono formare le stringhe $ abc, acb, bac, bca, cab, cba $). Per cui avrai sei numeri che hanno come prima cifra $ 1 $, sei numeri che hanno come prima cifra $ 2 $ e così via per $ 3 $ e $ 6 $. Questi 24 numeri sono tutti i numeri che puoi ottenere.

Segui lo stesso ragionamento per la seconda cifra: anche qui, una volta stabilita questa, le altre tre cifre si sistemano nel primo, terzo e quarto posto in sei modi possibili, per cui di nuovo ci saranno (all'interno dei 24 numeri complessivi) sei numeri che hanno come seconda cifra $ 1 $, sei che hanno il $ 2 $, sei che hanno il $ 3 $ e sei che hanno il $ 6 $.

Per la terza e la quarta cifra il discorso è uguale.

Quindi, sommando tutte le cifre delle unità dei 24 numeri otterrò $ 6+6\cdot2+6\cdot3+6\cdot6=72 $. Questo numero è uguale alla somma di tutte le cifre delle decine, di tutte le cifre delle centinaia e di tutte le cifre delle migliaia (infatti, abbiamo sempre, in tutti e quattro i posti, sei volte la cifra $ 1 $, sei volte la cifra $ 2 $, eccetera). Per cui la somma di tutti i 24 numeri è $ 72+72\cdot10+72\cdot100+72\cdot1000=79992 $.

Spero di essere stato comprensibile, anche se mi sembra un po' contorta come spiegazione...

[Maioc92]

più semplicemente si può notare che ogni cifra compare sei volte in ogni posizione, quindi la somma è uguale a 6666*(somma cifre)=6666*12

[Giulio C]

più semplicemente si può notare che ogni cifra compare sei volte in ogni posizione, quindi la somma è uguale a 6666*(somma cifre)=6666*12

Sì, in sostanza intendevo dire quello; ci è voluto di più perché volevo spiegare come mai ogni cifra compariva sei volte in ogni posto, nel caso che davideclasse92 fosse digiuno di combinatoria.

[davideclasse92]

grazie ragazzi molto gentili il quarto l'ho capito benissimo,anche il 16!

ps: eh si sono a digiuno di combinatoria...