Funzionale nei reali in 2 variabili non simmetrica

[dario2994]

Trovare tutte le $ $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $ tali che:
$ $ f(x-f(y))=2f(x)+x+f(y),\forall x,y\in R $

p.s. ho una soluzione elegantissima... ma penso sia toppata xD

[Maioc92]

Devo dire che non l'ho trovata semplice...
a)$ x=f(0) $,$ y=0 $
Trovo che $ 2f(f(0))=-f(0) $ 1)
b)$ x\rightarrow x-f(y) $
$ f(x-2f(y))=2f(x-f(y))+x $
Sostituendo dal testo la precedente diventa
$ f(x-2f(y))=4f(x)+3x+2f(y) $ 2)
Pongo nella 2 $ x=f(0),y=f(0) $
$ f(f(0))-2f(f(0))=6f(f(0))+3f(0) $
Sostituisco dalla 1 e trovo
$ f(2f(0))=0 $
Quindi ho dimostrato che esiste k tale che $ f(k)=0 $.
Ora sostituisco nel testo $ y=2f(0) $ e finalmente concludo, perchè ottengo
$ f(x)=2f(x)+x $, cioè $ f(x)=-x $.
Si verifica che in effetti la funzione soddisfa l'equazione.

[dario2994]

Ok giusto :)
Ho trovato l'errore nella mia quindi non la posto :)