Somma dei resti di k=Somma di resti di k-1

[dario2994]

Chiamo $ $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N} $ la funzione $ $f(n) $ che restituisce la somma di tutti resti di $ $n $ diviso per $ $1,2,3,\dots ,n-1,n $.
Dimostrare che esistono infiniti $ $k\in\mathbb{N} $ tali che $ $f(k)=f(k+1) $

La fonte è la gara Kurschak oppure il libro number theory di naoki sato... a voi la scelta.

p.s. cercando ho trovato un thread del 2008 in cui compare questo problema, ed un altro del 2007 in cui c'è sempre questo... tanto vale lasciarlo anche nel 2009 xD

[Iuppiter]

Ho trovato i $ k $ per i quali $ f(k) = f(k+1) $ e sono tutti i $ k $ tali che $ k=2^n-1 $.

Peccato però che non riesca a dimostrarlo: ho uguaglito due sommatorie e poi non sono riuscito più ad andare avanti.

[dario2994]

Iuppiter, continua sei sulla buona strada ;)
Bonus question: Trovare tutti i k che soddisfano.
La bonus question ancora la devo fare xD

EDIT: Bonus question lievemente infattibile... si può ricondurre ad una congettura ancora aperta... a voi scoprire quale xD

[kn]

[OT] Si riduce a trovare tutti gli $ ~n $ tali che $ ~2n-1=\sigma_1(n) $.. Se $ ~n $ non è una potenza di 2 allora è abbastanza ovvio (usando il fatto che $ ~\sigma_1(\cdot) $ è moltiplicativa) che deve essere un quadrato perfetto.. Di più non riesco a dire.. Di quale congettura parli? [/OT]

[dario2994]

Proprio di quella... nessuno ha ancora dimostrato che i numeri lievemente difettivi (quelli espressi da te) sono solo le potenze di 2 ;)

[Maioc92]

[OT] Si riduce a trovare tutti gli $ ~n $ tali che $ ~2n-1=\sigma_1(n) $

esatto, anche io sono arrivato a questo punto. Poi la soluzione $ n=2^k-1 $ l'ho un po' calata dall'alto, nel senso che l'ho cercata tra gli n di forma più semplice, ovvero le potenze di primi (aiutato dal fatto che per n=4 e n=8 funzionava).
Però mi interessava sapere se qualcuno era riuscito a fare di meglio, ovvero era riuscito a trovare tutti gli n che verificano l'equazione.
A quanto pare, se questa è addirittura una congettura, la risposta è negativa...a meno che qualcuno del forum non riesca a dimostrarla

[jordan]

Ok, intanto qualcuno che scrive decentemente la soluzione? Come problema è meccanico, ma potrebbe risultare interessante ai nuovi arrivati..

[jordan]

Visto che nessuno risponde: Brazialian Math Olympiad (2000).