sia $ \displaystyle\frac{a}{n}=0,d_1d_2...d_k $, con $ \ d_i \in \{0, ..., b-1 \} $ la rappresentazione in base $ b $ di $ \frac{a}{n} $. Allora $ \ n | b^k $.
Qualcuno potrebbe darmi dei chiarimenti? Grazie!
Numeri decimali finiti
Numeri decimali finiti
Ciao a tutti! Allenandomi sull'Engel, ho visto che usa un teorema che non conoscevo e che non riesco a dimostrare:
sia $ \displaystyle\frac{a}{n}=0,d_1d_2...d_k $, con $ \ d_i \in \{0, ..., b-1 \} $ la rappresentazione in base $ b $ di $ \frac{a}{n} $. Allora $ \ n | b^k $.
Qualcuno potrebbe darmi dei chiarimenti? Grazie!
sia $ \displaystyle\frac{a}{n}=0,d_1d_2...d_k $, con $ \ d_i \in \{0, ..., b-1 \} $ la rappresentazione in base $ b $ di $ \frac{a}{n} $. Allora $ \ n | b^k $.
Qualcuno potrebbe darmi dei chiarimenti? Grazie!
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"
Re: Numeri decimali finiti
Io non lo chiamerei teorema (e credo forse ci sia che a/n è irriducibile altrimenti la tesi è falsa)Gauss91 ha scritto:Sia $ \displaystyle\frac{a}{n}=0,d_1d_2...d_k $, con $ \ d_i \in \{0, ..., b-1 \} $ la rappresentazione in base $ b $ di $ \frac{a}{n} $. Allora $ \ n | b^k $.
$ \displaystyle\frac{a}{n}=0,d_1d_2...d_k=\frac{\sum_{1 \le i \le k}{d_ib^{k-i}}}{b^{k}} $ $ \displaystyle \implies n \mid n\left(\sum_{1 \le i \le k}{d_ib^{k-i}} \right)=ab^k $ $ \displaystyle \implies n \mid b^k $.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: Numeri decimali finiti
perchè scrivi $ \displaystyle\frac{a}{n}=0,d_1d_2...d_k=\frac{\sum_{1 \le i \le k}{d_ib^{k-i}}}{b^{k}} $ ?jordan ha scritto:
$ \displaystyle\frac{a}{n}=0,d_1d_2...d_k=\frac{\sum_{1 \le i \le k}{d_ib^{k-i}}}{b^{k}} $ $ \displaystyle \implies n \mid n\left(\sum_{1 \le i \le k}{d_ib^{k-i}} \right)=ab^k $ $ \displaystyle \implies n \mid b^k $.
).Ah inoltre, un'altra difficoltà (come se nn bastassero 
): usa con altrettanta disinvoltura il fatto che, se $ \displaystyle\frac{a}{n} = 0,a_1...a_pd_1...d_kd_1...d_k... $ con periodo $ d_1...d_k $, allora la sequenza $ a, ba, b^2a, b^3a... $, cacolata modulo $ n $, ha periodo $ k $ e antiperiodo $ p $. Come prima, $ \frac{a}{n} $ è irriducibile, e $ b $ è la base del sistema di numerazione in cui è scritta l'espressione di $ \frac{a}{n} $.
Anche sulla falsariga della dimostrazione che mi hai dato prima, nn riesco purtroppo a raccapezzarmi! Però è bello quando si è all'inizio di un libro così difficile! ahah, i problemi non ti vengono, ma c'è comunque un senso di "impegno" molto bello!
): usa con altrettanta disinvoltura il fatto che, se $ \displaystyle\frac{a}{n} = 0,a_1...a_pd_1...d_kd_1...d_k... $ con periodo $ d_1...d_k $, allora la sequenza $ a, ba, b^2a, b^3a... $, cacolata modulo $ n $, ha periodo $ k $ e antiperiodo $ p $. Come prima, $ \frac{a}{n} $ è irriducibile, e $ b $ è la base del sistema di numerazione in cui è scritta l'espressione di $ \frac{a}{n} $.Anche sulla falsariga della dimostrazione che mi hai dato prima, nn riesco purtroppo a raccapezzarmi! Però è bello quando si è all'inizio di un libro così difficile! ahah, i problemi non ti vengono, ma c'è comunque un senso di "impegno" molto bello!
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"
eccoti un esempio. Poni $ b=10, a = 3, n = 8 $ Allora $ \displaystyle\frac{a}{n}=\displaystyle\frac{3}{8}=0,375 $. In questo caso, $ \displaystyle\sum_{1\le i \le k}{d_ib^{k-i}} = 375 $, da cui $ \displaystyle\frac{a}{n} = \displaystyle\frac{375}{1000} = 0,375 $
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"