Ci metti dentro il valore di $ n $ che ti interessa e ti dà il risultato, non devi contare nulla.
Per quanto riguarda quello delle radici di polinomi, era per fare un esempio della differenza che c'è tra il fatto che qualcosa "esiste" e il fatto che ha un'"espressione analitica", che nel caso dei polinomi si può vedere analogicamente come un metodo algebrico di calcolo delle radici. La stessa differenza sta in $ \pi(n) $.
P.S.: questo thread sta diventando interessante!
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"
No, no, non ti è chiaro qualcosa. Se con "sputare fuori" intendi darti l'espansione decimale di quel numero, allora c'è ricorsione, conti, blablabla in entrambi i casi. Se con "sputare fuori" intendi identificare univocamente il numero, allora tra una funzione quale $ $\pi(n) $ e un polinomio non passa alcuna differenza.
Infine, ti faccio notare che "ha un espressione analitica" (in mancanza di definizioni migliori) è semplicemente "esiste una notazione a cui sono stato abituato a scuola". Se è così, beh ok $ $\pi(n) $ non è esprimibile sinteticamente mediante notazioni a cui sei stato abituato a scuola.
Ecco, diciamo che brutalmente era quello che intendevo . Il fatto che non può essere espressa con logaritmi, frazioni, radici, matrici, gradienti, integrali o chi più ne ha più ne metta. Tutti i modi per trovare $ \pi(x) $ tirano in ballo l'atto del "contare" o comunque di compiere operazioni ricorsive.
Il fatto che alcune tecniche o considerazioni abbassino il numero di operazioni necessarie (vedi il crivello di Erastotene, (o Eratostene? )) non cambia il discorso. Così va meglio?
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"
Ma anche n^4!!! Come lo calcoli? Prendi n, lo moltiplichi per n, moltiplichi il risultato per n, moltiplichi il risultato per n. E a voler essere pignoli, ogni moltiplicazione va fatta a sua volta in modo ricorsivo. Quello che chiami "chi più ne ha più ne metta" non è niente di più di ciò che hai visto a scuola, e comprendi che la tua frase
Gauss91 ha scritto:Poi ci sono state anche altre approssimazioni sempre migliori, ma non esiste un'espressione analitica ESATTA per \pi(n).
ritradotta in
Poi ci sono state anche altre approssimazioni sempre migliori, ma non esiste un'espressione che usi notazioni che ho visto a scuola ESATTA per \pi(n).
non ha molto senso? O meglio, ce l'ha, ma è di dubbio interesse?
Sì capisco benissimo quello che vuoi dire.
Allora mettiamola in un altro modo. Tu dici che "avere un'espressione che io ho visto a scuola" non ha molto interesse, ma ora pensa: se fosse per esempio $ \pi(n) = \log{n} $, tanto per fare un esempio "scolastico" (anche se è ovvio che non può essere $ \log{n} $, ma è solo per fare un esempio) ad ogni numero $ n $ si potrebbe associare il numero dei numeri primi minori o uguali a n. Nella realtà, invece, ciò non è possibile perché, per esempio, è conosciuto solo un numero finito di numeri primi, e oltre agli ultimi primi scoperti ce ne sono infiniti altri. Se io ti dessi un numero maggiore del più grande primo scoperto, riusciresti a dirmi quanti primi ci sono minori di quel numero? No! (o meglio, sì ma "controllando ad uno ad uno") E riusciresti ad elevarlo alla quarta? Sì! E a calcolarne il logaritmo? Pure.
Già solo il fatto che i numeri primi si "ricerchino", al di là dell'importanza di tali numeri, svela che almeno "qualcosa di diverso" c'è. Se per esempio fosse possibile caratterizzare i numeri primi, tutti smetterebbero di "ricercarli" perché ci sarebbe una formulina, o un procedimento "che ho imparato a scuola" che ti darebbe qualunque numero primo! Invece l'unico modo allo stato attuale delle conoscenze è controllarli uno per uno.
Capisco che qua l'argomento cambia, passando da $ \pi(n) $ alla caratterizzazione dei primi, ma forse l'esempio calza meglio per spiegare la differenza tra il "contare controllando" e le "operazioni che si imparano a scuola". O no?
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"
Ti ripeto per l'ultima volta, non c'è alcuna differenza qualitativa fra $ $\pi(n) $ e $ $n^2 $. Se vuoi sapere quanto fanno, ad esempio, per n=8, beh la prima fa $ $\pi(8) $ e la seconda fa $ $8^2 $ che sono due numeri. $ $\pi(8) $ non è una funzione, è un numero, punto. Tu dai 8 alla funzione, e lei ti ridà $ $\pi(8) $. Ora, poiché i numeri sono tanti, esiste una notazione, l'espansione decimale, che sugli interi è univoca, ed è molto comoda per confrontare numeri. Ad esempio, tu non sai a priori se $ $\pi(8) $ e $ 2^2 $ sono uguali, ma puoi calcolarne i valori in espansione decimale, trovando così che $ $\pi(8)=4=2^2 $. Yuppie!
Ora, calcolare l'espansione decimale è una cosa che costa passaggi, ricorsioni, controlli... Ad esempio, diamo per buono che sappiamo cosa sono interi positivi e somma, vogliamo vedere come si calcola la sottrazione. Che sia fa? Ad esempio, qual'è l'espansione decimale di $ $a=6-4 $? Suppongo $ $a=0 $, $ $a+4=6 $? No. Suppongo $ $a=1 $, $ $a+4=6 $? No. Suppongo $ $a=2 $, $ $a+4=6 $? Si! $ $6-4=2 $.
Ora, perché ci può essere interesse nello scoprire che una certa funzione è uguale a un'altra? Primo, perché tutto ciò che sappiamo sull'una varrebbe sull'altra e viceversa, secondo, perché una delle due sarà più veloce da calcolare, rendendo quindi ugualmente veloce anche l'altra. Queste sono le sole due cose che mi vengono in mente, ma possono essercene altre. Ad esempio, prendi la formula di di fede90. È esatta. Calcola esattamente $ $\pi(n) $ sfruttando il teorema di Wilson, e usa solo sommatorie, fattoriali e funzione floor. Eppure, non mi pare che fede90 abbia preso la Fields. Perché la sua strana formulazione non ci permette di dire nulla di nuovo a livello teorico, e perché i fattoriali comportano un enorme dispendio in termini di calcolo.
Ok, scusa se ho protratto troppo a lungo questa discussione ma non mi erano chiare queste considerazioni. Ora penso di aver capito tutto. Grazie julio!
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"
In conclusione di tutto ciò, esistono delle funzioni analitiche (click!), ma non credo che fossero quello che pensavi, nonostante comprendano più o meno tutte le funzioni che citavi (logaritmo, trigonometriche etc.) cosa che credo succedesse più che altro perché la maggior parte delle funzioni "classiche" sono analitiche.
Sì ho sentito parlare qualche volta di queste funzioni, ma non mi riferivo assolutamente a quel concetto. Infatti non ho usato il termine "funzione analitica". Più che altro sono stato fuorviato dal fatto che ho sentito persone che, riferendosi a funzioni "comode", chiamavano la loro espressione "espressione analitica". Ma alla luce di quanto hai spiegato tu è effettivamente una distinzione senza senso.
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"
)) non cambia il discorso. Così va meglio? 