"Mediana" di una figura convessa

[spugna]

Sia $ F $ una figura piana,limitata e convessa,e $ r $ una retta qualunque. Detto $ A $ un punto appartenente a $ r $,sia $ s $ la perpendicolare a $ r $ passante per A. Detti $ P $ e $ Q $ gli eventuali punti di intersezione (che possono eventualmente coincidere) tra $ s $ e il perimetro di $ F $,sia $ M $ il punto medio del segmento $ \overline{PQ} $. Dimostrare che il luogo geometrico individuato da $ M $ al variare di $ A $ è una linea che divide $ F $ in due parti aventi la stessa area.

Nota: Se l'intersezione tra s e il perimetro di F è un segmento,P e Q indicano i suoi estremi

Bonus: esistono figure concave che godono di questa proprietà?

[dario2994]

Sto probabilmente per postare una dimostrazione toppatissima... ma perchè non provare xD Non so nulla di integrali (ma davvero nulla) quindi potrei anche essermi praticamente inventato tutto di sana pianta... speriamo di no xD
Metto degli assi cartesiani: asse x la retta r, asse y la perpendicolare a r tangente alla figura. Il problema è invariante per omotetia quindi ne applico una tale che l'altra retta tangente alla figura e perpendicolare a r passi per (1,0).
Chiamo $ $f:[0,1]\to \mathbb{R}_+ $ la funzione f(x) che restituisce la lunghezza di PQ valutato rispetto alla retta perpendicolare a r passante per (x,0).
Chiamo S l'area della figura.
Ora parte il delirio xD:
$ $\int_0^1 f(x)dx=S $
Invece considero l'area della figura delimitata dalla linea degli m, la chiamo P:
$ $P=\int_0^1 \frac{f(x)}{2}dx=\frac{1}{2}\int_0^1 f(x)dx=\frac{S}{2} $
Che è la tesi...
Spero di non aver detto cazzate (o almeno non troppo grosse xD).

[Tibor Gallai]

Bonus: esistono figure concave che godono di questa proprietà?

Basta prenderne una convessa e togliere un opportuno insieme di punti di misura nulla...
Ma anche qui, non è chiaro cosa si intenda con "questa proprietà". Perché nota che in generale le intersezioni con la frontiera sono più di 2: questi casi sono da escludere, o la tua costruzione si modifica?

Ti consiglio di evitare queste generalizzazioni super-spinte, perché coinvolgono quasi sempre questioni non elementari, problemi di definizioni, configurazioni patologiche che alle olimpiadi tipicamente non ci si immagina nemmeno che possano esistere. Mi ricordi qualcuno che parlava di "figure piane inscritte in quadrati".

Secondo me, o ti limiti a proporre problemi veri (cioè problemi presi da olimpiadi vere), o anziché parlare di figure, parli di poligoni. Almeno tutti sappiamo cos'è un poligono, cos'è il suo perimetro, cos'è la sua area, etc. E sui poligoni c'è speranza di dimostrare qualcosa elementarmente, e senza dare per scontate proprietà tutt'altro che banali delle "figure".

[spugna]

Non so nulla di integrali

Neanch'io,ma mi sembra che vada bene. E' anche meglio della mia,perchè con la tua si arriva a dimostrare anche che,se $ M $ viene individuato in modo da rispettare l'uguaglianza $ PM=k \cdot MQ $ (dove $ k $ è una costante reale positiva),$ F $ risulta divisa in due parti le cui aree stanno nel rapporto $ 1:k $.

[dario2994]

Come figura concava mi verrebbe da dire un cerchio a cui è tolto un cerchio concentrico al suo interno... mi pare che questa figura si chiami corona circolare...

[Anér]

Sono d'accordo con Tibor: se una figura è convessa non significa che una retta interseca il suo perimetro in al più due punti: ad esempio il perimetro può contenere un segmento perpendicolare a r, dunque per un certo A la perpendicolare individua tutto il segmento e non due punti, ma possiamo dire che in tal caso prendiamo arbitrariamente (o meglio, per continuità) il punto medio del lato. Il problema nasce con le figure concave: se hai quattro punti di intersezione, come nel caso della corona circolare, quali scegli come P e Q?

[spugna]

Il problema nasce con le figure concave: se hai quattro punti di intersezione, come nel caso della corona circolare, quali scegli come P e Q?

Sia $ F $ una figura piana,limitata e convessa

[Anér]

Bonus: esistono figure concave che godono di questa proprietà?