Dato un angolo rOs (vertice O e semirette r ed s), ed un punto P interno ad esso, determinate la retta t per P, tale che il traingolo rst abbia area minima.
E' possibile risolvere il problema con riga e compasso.
E' possibile risolvere il problema facendo uso solamente di una riga a due facce parallele?
Triangolo minimo
Spulciando tra i quesiti orfani di risposte,ho ripescato questo che mi sembra interessante
( anche perché credo mi sia riuscito ...!
) Passiamo ai fatti.
Siano A e B le intersezioni di r ed s con le parallele condotte da P alle
semirette medesime.Si conduca poi per P la parallela ad AB che intersechi
le suddette semirette in C e D ( fig.1).
Il triangolo COD risolve il problema.
Comincio con l'osservare che ,per le anzidette costruzioni,i punti A,B e P
sono i punti medi di OC,OD e CD rispettivamente.La generica trasversale t
( vedi fig.2 o fig.3) ,passante per P e distinta da CD,individui il
triangolo MON.Da quello che ho capito, sembra che la t non debba tagliare
i prolungamenti di r ed s e che quindi essa non debba attraversare il
parallelogrammo OAPB.Vi sono quindi due casi a seconda di come si situa M dopo
C o prima di C ( vedi figure).
Nel primo caso risulta :
S(MON)=S(OCPN)+S(PCM)=S(OCPN)+1/2.PC.PM.sin(CPM)
Ora per Talete ,applicato alle parallele AP e OD tagliate da OM e MN, si ha:
MA:AO=PM:PN
Ma è:
MA=MC+CA=MC+OA>OA e quindi è pure PM>PN
Pertanto,essendo PC=PD e CPM=DPN,si ottiene:
S(OMN)> S(OCPN)+1/2. PD . PN.sin(DPN)=S(OCPN)+S(PND)=S(COD)
Analogamente si opera nel secondo caso ( fig.3) dove è PN>PM e la tesi è provata.
Quanto all'uso della riga a due facce parallele penso che, dovendosi tirare solo
delle parallele per risolvere il problema, la risposta sia affermativa.