Ciao a tutti,
volevo chiedervi come si determini il rapporto del lato di un triangolo equilatero inscritto in un altro triangolo equilatero; oppure il rapporto fra i lati di un esagono e il triangolo equilatero in cui è inscritto. Palesamente si puo vedere ad occhio il rapporto fra le aree, ma come dimostrarlo matematicamente?
Come si fa a determinare il lato di un triangolo inscritto?
In mille maniere (penso). Nel primo caso il rapporto è $ \displaystyle\frac{1}{2} $: il triangolino dentro è composto dall'unione dei punti medi del triangolo fuori. Si dimostra banalmente con le similitudini che queste unioni sono la metà del lato ad esse parallelo (teorema di Talete).
Per l'esagono, dividilo in sei triangoli equilateri tramite le sue diagonali. Basta che dimostri (è facile vedendo gli angoli) che i triangoli dentro sono congruenti a quelli "di completamento" fuori. Il triangolo grande ha 9 triangolini uguali tra loro e simili ad esso, quindi su ogni lato ce ne saranno $ \sqrt{9} = 3 $, mentre c'è un solo lato dell'esagono: il rapporto è $ \displaystyle\frac{1}{3} $, che NON è il rapporto tra le aree, che è $ \displaystyle\frac{2}{3} $
Per l'esagono, dividilo in sei triangoli equilateri tramite le sue diagonali. Basta che dimostri (è facile vedendo gli angoli) che i triangoli dentro sono congruenti a quelli "di completamento" fuori. Il triangolo grande ha 9 triangolini uguali tra loro e simili ad esso, quindi su ogni lato ce ne saranno $ \sqrt{9} = 3 $, mentre c'è un solo lato dell'esagono: il rapporto è $ \displaystyle\frac{1}{3} $, che NON è il rapporto tra le aree, che è $ \displaystyle\frac{2}{3} $
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"
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Tibor Gallai
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- Iscritto il: 17 nov 2007, 19:12
Ostrega! ahaha postare a quelle ore pericolose non va bene! 
Allora hai bisogno di altri parametri. Per esempio, se il triangolo inscritto stacca sui lati di quello circoscritto due segmenti di lunghezza $ a $ e $ b $, si dimostra facilmente con la trigonometria che il lato del triangolo inscritto è $ l=\sqrt{L^2 - 3ab} $, dove L è il lato del triangolo circoscritto. Se hai altri parametri ancora, penso che con la trigonometria (in generale) si risolva facilmente il problema.
Scusa per la superficialità del messaggio precedente!
Allora hai bisogno di altri parametri. Per esempio, se il triangolo inscritto stacca sui lati di quello circoscritto due segmenti di lunghezza $ a $ e $ b $, si dimostra facilmente con la trigonometria che il lato del triangolo inscritto è $ l=\sqrt{L^2 - 3ab} $, dove L è il lato del triangolo circoscritto. Se hai altri parametri ancora, penso che con la trigonometria (in generale) si risolva facilmente il problema.
Scusa per la superficialità del messaggio precedente!
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"
No willy non è unico. Ce ne sono infiniti. Per convincerti prendi un triangolo equilatero ABC, e disegna sui suoi lati AB, BC, CA rispettivamente i punti H, K, L tali che AH = BK = CL. Troverai che il triangolo HKL è equilatero (ed è inscritto nel triangolo "di fuori").
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"