problema sui quadrati perfetti

[Vayne]

non so se ho postato nella giusta sezione cmnq...
per quanti valori di n; n*n+340= a un quadrato perfetto
sinceramente nn so da dove iniziare mi aiutate?

[gian92]

il problema è nella sezione sbagliata
dovrebbe essere in teoria dei numeri, visto che stiamo parlando di n intero o naturale.

comunque questo lo puoi fare così:
$ n^2+340=k^2\\ (k-n)(n+k)=340\\ ... $

questo è l'inizio, la soluzione completa te la scrivo in bianco se vuoi farlo da solo !

\displaystyle
n^2+340=k^2\\
k=2k_1\\
n^2=4(k_1^2-85)\\
n=2n_1\\
k_1^2-n_1^2=85\\
85=5\cdot 17\\
(k_1-n_1)(k_1+n_1)=5\cdot 17\\

quindi siccome abbiamo k_1+n_1>k_1+n_1
(sto prendendo in considerazione numeri naturali, non cambierebbe molto con gli interi)
impostiamo 2 sistemi e troveremo 2 soluzioni.

ahah visto la mia incapacità non riesco a mettere le formule in latex in bianco...allora ho tolto le tag
p.s. qualcuno che lo sa fare me lo dice please?

[Vayne]

perdonami nn l'ho capito XD
fino all'inizio nn ci vuole niente, scomponi tutto ok
e quindi viene
(k+n)*(k-n)=340

\displaystyle
n^2+340=k^2\\
k=2k_1\\
n^2=4(k_1^2-85)\\
n=2n_1\\
k_1^2-n_1^2=85\\
85=5\cdot 17\\
(k_1-n_1)(k_1+n_1)=5\cdot 17\\

poi non capisco da dove prendi k=2k-1
e di conseguenza neppure n=2n-1

me lo rispieghi?[/quote]

[gian92]

ecco qua non dovevo metterlo in bianco
riposto la soluzione così è più chiaro
$ n^2+340=k^2\\ k=2k_1\\ n^2=4(k_1^2-85)\\ n=2n_1\\ k_1^2-n_1^2=85\\ 85=5\cdot 17\\ (k_1-n_1)(k_1+n_1)=5\cdot 17\\ $

così abbiamo due sistemi di due equazioni in due incognite e troviamo due soluzioni (nei naturali!)

[Claudio.]

ecco qua non dovevo metterlo in bianco
riposto la soluzione così è più chiaro
$ n^2+340=k^2\\ k=2k_1\\ n^2=4(k_1^2-85)\\ n=2n_1\\ k_1^2-n_1^2=85\\ 85=5\cdot 17\\ (k_1-n_1)(k_1+n_1)=5\cdot 17\\ $

così abbiamo due sistemi di due equazioni in due incognite e troviamo due soluzioni (nei naturali!)

Scusa molto la mia totale ignoranza in questo campo ma vorrei capire:
Cosa significa $ k=2k_1 $ e quindi $ n=2n_1 $?

[gian92]

niente di che in pratica siccome abbiamo che k deve essere pari scrivo $ k=2k_1 $

[Claudio.]

Quindi poichè è pari elevato alla seconda è divisibile per 4, per questo raccogli il 4?

[gian92]

[quote="Claudio."]Quindi poichè è pari elevato alla seconda è divisibile per 4, per questo raccogli il 4?[/quote]
si!

[julio14]

Beh, andrebbe almeno giustificato perché k è pari, per esempio modulo 8...
Comunque si poteva risolvere anche direttamente da $ $(k-n)(k+n)=340 $ guardando i divisori di 340, senza stare a dividere per 4.

[gian92]

Beh, andrebbe almeno giustificato perché k è pari, per esempio modulo 8...
Comunque si poteva risolvere anche direttamente da $ $(k-n)(k+n)=340 $ guardando i divisori di 340, senza stare a dividere per 4.

si certo però era più lungo...

lo ho giustificato perchè k è pari, almeno mi sembra

edit: ah no hai ragione mi sono dimenticato di quel passaggio!