E' un recente Winter..smanettando non mi sembra sia già stato postato, ed è parecchio figo secondo me...quindi..
Dimostrare che, dati x;y;z reali positivi tali che x+y+z=3
$ $\sum_{cyc}{\frac{x^3}{y^3+8}}\ge \frac{1}{9}+\frac{2\sum_{cyc}{xy}}{27} $
Funny inequality
ok provo ma la mia soluzione è bruttina...comunque è già tanto se mi è venuta visto che ho poco tempo causa problemi del WC di quest'anno. Scusate se salto qualche passaggio...
$ \displaystyle 2\sum_{cyc}xy=(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2 $
Per QM-AM, $ x^2+y^2+z^2\ge 3 $.
Mi basta quindi dimostrare che $ \displaystyle\sum_{cyc}\frac{x^3}{y^3+8}\ge\frac 1 3 $. Svolgo tutti i calcoli e rimane da dimostrare che
$ \sum_{cyc}(3x^6z^3+16x^3z^3+24x^6+128x^3)\ge x^3y^3z^3+512 $.
Moltiplico per 3 e opero i primi passaggi:
$ \sum_{cyc}x^6z^3\ge3x^3y^3z^3 $
$ 8\sum_{cyc}(x^6z^3+z^3)\ge 8\sum_{cyc}2x^3z^3=16\sum_{cyc}x^3z^3 $
L'espressione che rimane ora da dimostrare è:
$ \sum_{cyc}(64x^3y^3+72x^6+376x^3)\ge 1536 $
Ovviamente vale l'identità $ 2\sum_{cyc}(x^3y^3)=(x^3+y^3+z^3)^2-x^6-y^6-z^6 $. Sostituendo si ottiene:
$ \sum_{cyc}(40x^6+376x^3)+32(x^3+y^3+z^3)^2\ge 1536 $
Ora divido in 3 parti:
1)$ 376\sum_{cyc}x^3\ge 376\cdot 3=1128 $ per CM-AM
2)$ 32(x^3+y^3+z^3)^2\ge 32\cdot 3^2=288 $
3)$ 40\sum_{cyc}x^6\ge 40\cdot 3=120 $ per la disuguaglianza tra medie oppure per QM-AM seguito da CM-AM.
Le precedenti disuguaglianze sommate mi danno esattamente la tesi.
$ \displaystyle 2\sum_{cyc}xy=(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2 $
Per QM-AM, $ x^2+y^2+z^2\ge 3 $.
Mi basta quindi dimostrare che $ \displaystyle\sum_{cyc}\frac{x^3}{y^3+8}\ge\frac 1 3 $. Svolgo tutti i calcoli e rimane da dimostrare che
$ \sum_{cyc}(3x^6z^3+16x^3z^3+24x^6+128x^3)\ge x^3y^3z^3+512 $.
Moltiplico per 3 e opero i primi passaggi:
$ \sum_{cyc}x^6z^3\ge3x^3y^3z^3 $
$ 8\sum_{cyc}(x^6z^3+z^3)\ge 8\sum_{cyc}2x^3z^3=16\sum_{cyc}x^3z^3 $
L'espressione che rimane ora da dimostrare è:
$ \sum_{cyc}(64x^3y^3+72x^6+376x^3)\ge 1536 $
Ovviamente vale l'identità $ 2\sum_{cyc}(x^3y^3)=(x^3+y^3+z^3)^2-x^6-y^6-z^6 $. Sostituendo si ottiene:
$ \sum_{cyc}(40x^6+376x^3)+32(x^3+y^3+z^3)^2\ge 1536 $
Ora divido in 3 parti:
1)$ 376\sum_{cyc}x^3\ge 376\cdot 3=1128 $ per CM-AM
2)$ 32(x^3+y^3+z^3)^2\ge 32\cdot 3^2=288 $
3)$ 40\sum_{cyc}x^6\ge 40\cdot 3=120 $ per la disuguaglianza tra medie oppure per QM-AM seguito da CM-AM.
Le precedenti disuguaglianze sommate mi danno esattamente la tesi.
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
..io lo avevo risolto prima con cauchy-schwarz di terza specie e poi sostituendo $ x^2+y^2+z^2=s $ mi veniva un quadrato e si vinceva...Allora, per cauchy schwarz di terza specie ho che
$ $\sum_{cyc}{\frac{x^3}{y^3+8}}\ge \frac{(z+y+z)^3}{(x+2+y+2+z+2)(x^2+y^2+z^2-2(x+y+z)+4+4+4)}=\frac{3}{x^2+y^2+z^2+6} $
Ho infatti considerato elementi del tipo $ $\frac{x}{((y+2)(y^2-2y+4))^{\frac{1}{3}}};(y+2)^{\frac{1}{3}};(y^2-2y+4)^{\frac{1}{3}} $
Ora se chiamo x^2+y^2+z^2=S mi basta dimostrare che
$ $\frac{3}{S+6}\ge \frac{1}{9}+\frac {1}{3} -\frac{S}{27}=\frac{1}{9}+\frac{2\sum_{cyc}{xy}}{27} $
Dando il denominatore mi viene
$ 81\ge 3S+18+9S+54-S^2-6S $
potrando tutto a sinistra
$ 9-6S+S^2=(S-3)^2\ge 0 $
TEORICAMENTE dovrebbe funzionare...
$ $\sum_{cyc}{\frac{x^3}{y^3+8}}\ge \frac{(z+y+z)^3}{(x+2+y+2+z+2)(x^2+y^2+z^2-2(x+y+z)+4+4+4)}=\frac{3}{x^2+y^2+z^2+6} $
Ho infatti considerato elementi del tipo $ $\frac{x}{((y+2)(y^2-2y+4))^{\frac{1}{3}}};(y+2)^{\frac{1}{3}};(y^2-2y+4)^{\frac{1}{3}} $
Ora se chiamo x^2+y^2+z^2=S mi basta dimostrare che
$ $\frac{3}{S+6}\ge \frac{1}{9}+\frac {1}{3} -\frac{S}{27}=\frac{1}{9}+\frac{2\sum_{cyc}{xy}}{27} $
Dando il denominatore mi viene
$ 81\ge 3S+18+9S+54-S^2-6S $
potrando tutto a sinistra
$ 9-6S+S^2=(S-3)^2\ge 0 $
TEORICAMENTE dovrebbe funzionare...
