Come detto da Haile, la mia enunciazione contiene in sé l'induzione: chiamiamo $ d_i=2i+1 $ l'i-esimo numero dispari.
Allora è
$ (n+1)^2 = n^2 + d_n = (n-1)^2 + d_{n-1} + d_n = ... = 1 + d_2 + ... + d_{n-1}+d_n = d_0 + d_2 + ... + d_{n-1}+d_n $,
perché $ d_0 = 1 $. Insomma, la somma dei primi n+1 dispari (da 1 a 2n+1) è uguale a $ (n+1)^2 $.
L'idea base è la stessa dell'induzione, ma così mi sembra di più immediata comprensione. Ricordatevi che ogni qual volta ci sono i "puntini" è come se si usa l'induzione. Ma il come si usa a volte conta!
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Comunque, se non vuoi cambiare significato a $ n $ (per ipotesi dispari) allora è $ \displaystyle \sum_{i \in \mathbb{N} \cap [0,\frac{n-1}{2}]}{(2i+1)} $ che è $ \displaystyle 2\sum_{i \in \mathbb{N} \cap [0,\frac{n-1}{2}]}{i}+\sum_{i \in \mathbb{N} \cap [0,\frac{n-1}{2}]}{1} $ cioè $ \displaystyle 2\frac{\frac{n-1}{2}\cdot \frac{n+1}{2}}{2} + \frac{n+1}{2}= \left( \frac{n+1}{2}\right)\left(\frac{n-1}{2}+1\right)=\left(\frac{n+1}{2}\right)^2 $. []
dire che n+1 corrisponde alla posizione del numero(secondo la dimostrazione dal quale la formula deriva, n è il numero pari prima dell'ultimo numero dispari, fratto 2(che definizione di mer*a XD)) Es.
) è un pazzo 
