Sia $ ~p(x) $ un polinomio a coefficienti interi, monico e di grado pari. Sapendo che $ ~p(n) $ è un quadrato perfetto per infiniti interi positivi n, dimostrare che $ ~p(x)=[q(x)]^2 $ per qualche polinomio $ ~q(x) $ a coefficienti interi..
Quadrato per troppi n..
Quadrato per troppi n..
Un lemma del WC 2009 rimasto misteriosamente irrisolto di cui però ho scoperto una soluzione molto semplice:
Sia $ ~p(x) $ un polinomio a coefficienti interi, monico e di grado pari. Sapendo che $ ~p(n) $ è un quadrato perfetto per infiniti interi positivi n, dimostrare che $ ~p(x)=[q(x)]^2 $ per qualche polinomio $ ~q(x) $ a coefficienti interi..
Sia $ ~p(x) $ un polinomio a coefficienti interi, monico e di grado pari. Sapendo che $ ~p(n) $ è un quadrato perfetto per infiniti interi positivi n, dimostrare che $ ~p(x)=[q(x)]^2 $ per qualche polinomio $ ~q(x) $ a coefficienti interi..
Viviamo intorno a un mare come rane intorno a uno stagno. (Socrate)
Uhm... definisco un ordine tra polinomi diversi dello stesso grado (forse esiste gia xD).
$ $P(x) $ ha $ $a_i $ coefficiente di $ $x^i $.
$ $Q(x) $ ha $ $b_i $ coefficiente di $ $x^i $.
Allora $ $P(x)>Q(x) $ sse chiamato $ $j=max\{i:a_i\not=b_i\} $ vale $ $a_j>b_j $
Si dimostra facilmente (qui nascondo che non lo so fare...) che se P(x)>Q(x) allora P(x) al crescere di x nei naturali è definitivamente maggiore di Q(x).
Da qui si conclude "abbastanza facilmente"...
Assumo P(x) non il quadrato di un polinomio.
Definisco Z(x) il polinomio a coefficienti interi tale che $ $Z(x)^2<P(x) $ e tale che non esista nessun polinomio a coefficienti interi M(x) tale che valga $ $Z(x)^2<M(x)^2<P(x) $. Dalla definizione stessa di Z(x) deriva che:
$ $(Z(x))^2<P(x)<(Z(x)+1)^2 $
Ora sfruttando il lemma citato (non dimostrato) prima noto che P(x) al crescere di x nei naturali è definitivamente compreso tra gli altri 2... ma gli altri 2 sono dei quadrati consecutivi da cui deriva che P(x) è definitivamente un "non-quadrato".
p.s. ho dato per scontato l'esistenza di un tale Z(x)... per costruirlo si potrebbe avanzare dal coefficiente più alto al più basso "massimizzandolo" sempre.
Comunque il lemma citato è dimostrabile sfruttando un altro fatto... e cioè che un polinomio di grado n con il coefficiente direttivo positivo e definitivamente maggiore di uno di grado minore di n... non so quanto sia difficile e penso venga per induzione... lo lascio al lettore xD
p.p.s. comunque è vero che non era particolarmente difficile, veniva spontaneo pensare ad una generalizzazione della chiusura tra 2 quadrati... il difficile era formalizzare e non sono neanche sicuro di averci preso xD
$ $P(x) $ ha $ $a_i $ coefficiente di $ $x^i $.
$ $Q(x) $ ha $ $b_i $ coefficiente di $ $x^i $.
Allora $ $P(x)>Q(x) $ sse chiamato $ $j=max\{i:a_i\not=b_i\} $ vale $ $a_j>b_j $
Si dimostra facilmente (qui nascondo che non lo so fare...) che se P(x)>Q(x) allora P(x) al crescere di x nei naturali è definitivamente maggiore di Q(x).
Da qui si conclude "abbastanza facilmente"...
Assumo P(x) non il quadrato di un polinomio.
Definisco Z(x) il polinomio a coefficienti interi tale che $ $Z(x)^2<P(x) $ e tale che non esista nessun polinomio a coefficienti interi M(x) tale che valga $ $Z(x)^2<M(x)^2<P(x) $. Dalla definizione stessa di Z(x) deriva che:
$ $(Z(x))^2<P(x)<(Z(x)+1)^2 $
Ora sfruttando il lemma citato (non dimostrato) prima noto che P(x) al crescere di x nei naturali è definitivamente compreso tra gli altri 2... ma gli altri 2 sono dei quadrati consecutivi da cui deriva che P(x) è definitivamente un "non-quadrato".
p.s. ho dato per scontato l'esistenza di un tale Z(x)... per costruirlo si potrebbe avanzare dal coefficiente più alto al più basso "massimizzandolo" sempre.
Comunque il lemma citato è dimostrabile sfruttando un altro fatto... e cioè che un polinomio di grado n con il coefficiente direttivo positivo e definitivamente maggiore di uno di grado minore di n... non so quanto sia difficile e penso venga per induzione... lo lascio al lettore xD
p.p.s. comunque è vero che non era particolarmente difficile, veniva spontaneo pensare ad una generalizzazione della chiusura tra 2 quadrati... il difficile era formalizzare e non sono neanche sicuro di averci preso xD
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
il punto è che il cosiddetto lemma rappresenta il vero problema. Tu dai per scontato di poter costruire un tale polinomio negli interi, in realtà non puoi (ti basta fare alcune prove per accorgertene, perchè i coefficienti dispari rappresentano un problema). Io ho ipotizzato di poter sistemare questa cosa moltiplicando tutto il polinomio per una potenza pari di 2 abbastanza grande, però non ho nemmeno io il tempo di approfondire l'idea, quindi spero ci riesca qualcun altro.dario2994 ha scritto: p.s. ho dato per scontato l'esistenza di un tale Z(x)... per costruirlo si potrebbe avanzare dal coefficiente più alto al più basso "massimizzandolo" sempre.
p.p.s. comunque è vero che non era particolarmente difficile
Era solo per far notare che cose che sembrano semplici non è detto che lo siano...
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
In effetti sono pirla xD
Comunque mi verrebbe in mente di ritentare cercando un Q(x) tale che $ $Q(x)^2<P(x)<(Q(x)+n)^2 $
ma non sono sicuro esista :|
Comunque mi verrebbe in mente di ritentare cercando un Q(x) tale che $ $Q(x)^2<P(x)<(Q(x)+n)^2 $
ma non sono sicuro esista :|
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Come dice Maicon92, in generale il tuo discorso non funziona (prendi per es. $ ~P(x)=x^4+3x^3+x^2 $ e vedrai che non esiste un Z(x) come lo vuoi tu).
Suggerimento 1: Perché non cercare anche tra i polinomi a coefficienti razionali?
Suggerimento 2: A questo punto non si può più "incastrare" P(n) tra due quadrati, però rimane valido il fatto algebrico che la differenza dei quadrati di due numeri razionali distinti cresce al crescere dei numeri se i denominatori delle loro frazioni sono limitati..
Suggerimento 1: Perché non cercare anche tra i polinomi a coefficienti razionali?
Suggerimento 2: A questo punto non si può più "incastrare" P(n) tra due quadrati, però rimane valido il fatto algebrico che la differenza dei quadrati di due numeri razionali distinti cresce al crescere dei numeri se i denominatori delle loro frazioni sono limitati..
Viviamo intorno a un mare come rane intorno a uno stagno. (Socrate)
Maicon92 aushaushaushkn ha scritto:Come dice Maicon92, in generale il tuo discorso non funziona (prendi per es. $ ~P(x)=x^4+3x^3+x^2 $ e vedrai che non esiste un Z(x) come lo vuoi tu).
Suggerimento 1: Perché non cercare anche tra i polinomi a coefficienti razionali?
Suggerimento 2: A questo punto non si può più "incastrare" P(n) tra due quadrati, però rimane valido il fatto algebrico che la differenza dei quadrati di due numeri razionali distinti cresce al crescere dei numeri se i denominatori delle loro frazioni sono limitati..
Ti odio kn... c'avevo pensato oggi a scuola ai polinomi razionali, ma ora che hai messo l'hint sembrerò solo uno sfruttatore di hint xD Al solito spero di non aver miseramente sbagliato...
Assumo per assurdo P(x) non il quadrato di qualche polinomio a coefficienti razionali.
Assumo P(x) di grado 2n.
Dato un polinomio Z(x) allora g(k,Z(x)) restituisce il coefficiente del termine di k-esimo grado del polinomio.
Allora pongo $ $b_n=1 $;
$ $b_{i-1}=\frac{g(n+i-1,P(x))-g\left(n+i-1,\left(\sum_{j=i}^nb_jx^j\right)^2\right)}{2} $
Per ogni i>1. Ora pongo $ $Q(x)=\sum_{i=1}^nb_ix^i $.
Per la definizione di Q(x) vale:
$ g(i,Q(x)^2)=g(i,P(x))\ \ \forall n<i\le 2n $
Ora esistono k,h interi tali che $ $(Q(x)+k)^2< P(x)< (Q(x)+h)^2 $ (la loro esistenza è ovvia dato che se k tende a - infinito anche i coefficienti dei termini con potenza tra n e 0 tenderanno a meno infinito e il contrario per h che tende ad + infinito).
Q(x) ha i coefficienti appartenenti ai razionali per costruzione, chiamo m il prodotto di tutti i denominatori allora definito $ $Q(x)m+km=N(x) $ e $ hm-km=A $ vale:
$ N(x)^2< P(x)m^2< (N(x)+A)^2 $
La disuguaglianza è definitivamente vera anche "nei valori" al crescere di x e perciò se ne deduce che per qualche c intero tra 0 ed A il polinomio:
$ $P(x)m^2-(N(x)+c)^2 $
ha infinite radici per ipotesi... per cui vale:
$ $ P(x)=\left(\frac{N(x)+c}{m}\right)^2 $
che mostra l'assurdo.
Ora rimane da dimostrare che se P(x) è monico e a coefficienti interi ed è il quadrato di un polinomio a coefficienti razionali Q(x) allora anche Q(x) è a coefficienti interi... questo è vero sicuro, altrimenti la tesi è falsa, ma non riesco a dimostrarlo
Assumo per assurdo P(x) non il quadrato di qualche polinomio a coefficienti razionali.
Assumo P(x) di grado 2n.
Dato un polinomio Z(x) allora g(k,Z(x)) restituisce il coefficiente del termine di k-esimo grado del polinomio.
Allora pongo $ $b_n=1 $;
$ $b_{i-1}=\frac{g(n+i-1,P(x))-g\left(n+i-1,\left(\sum_{j=i}^nb_jx^j\right)^2\right)}{2} $
Per ogni i>1. Ora pongo $ $Q(x)=\sum_{i=1}^nb_ix^i $.
Per la definizione di Q(x) vale:
$ g(i,Q(x)^2)=g(i,P(x))\ \ \forall n<i\le 2n $
Ora esistono k,h interi tali che $ $(Q(x)+k)^2< P(x)< (Q(x)+h)^2 $ (la loro esistenza è ovvia dato che se k tende a - infinito anche i coefficienti dei termini con potenza tra n e 0 tenderanno a meno infinito e il contrario per h che tende ad + infinito).
Q(x) ha i coefficienti appartenenti ai razionali per costruzione, chiamo m il prodotto di tutti i denominatori allora definito $ $Q(x)m+km=N(x) $ e $ hm-km=A $ vale:
$ N(x)^2< P(x)m^2< (N(x)+A)^2 $
La disuguaglianza è definitivamente vera anche "nei valori" al crescere di x e perciò se ne deduce che per qualche c intero tra 0 ed A il polinomio:
$ $P(x)m^2-(N(x)+c)^2 $
ha infinite radici per ipotesi... per cui vale:
$ $ P(x)=\left(\frac{N(x)+c}{m}\right)^2 $
che mostra l'assurdo.
Ora rimane da dimostrare che se P(x) è monico e a coefficienti interi ed è il quadrato di un polinomio a coefficienti razionali Q(x) allora anche Q(x) è a coefficienti interi... questo è vero sicuro, altrimenti la tesi è falsa, ma non riesco a dimostrarlo
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Se $ \text{deg}(p(\cdot))=2 $ vedi qui
Con l'ipotesi che $ 2 \mid \text{deg}(p(\cdot)) $ e coefficiente direttivo monico, è sufficiente che sia un quadrato perfetto solo per infiniti $ n $.
http://it.answers.yahoo.com/question/in ... 920AAgOr8t
Con l'ipotesi che $ 2 \mid \text{deg}(p(\cdot)) $ e coefficiente direttivo monico, è sufficiente che sia un quadrato perfetto solo per infiniti $ n $.
http://it.answers.yahoo.com/question/in ... 920AAgOr8t
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Jordan... quello li mi pare proponga la mia stessa identica soluzione...
Alla fine ottiene
$ $p(x) = F(x)^2 $
Che è proprio quello che ottengo io... ma la tesi richiede che sia il quadrato di un polinomio a coefficienti interi... così si ottiene che è il quadrato di un polinomio a coefficienti razionali...
Praticamente a me rimane da dimostrare che se P(x) ha coefficienti razionali, P(x)^2 ha coefficienti interi==> P(x) ha coefficienti interi
Forse è banale ma continuo a non riuscirci xD
Alla fine ottiene
$ $p(x) = F(x)^2 $
Che è proprio quello che ottengo io... ma la tesi richiede che sia il quadrato di un polinomio a coefficienti interi... così si ottiene che è il quadrato di un polinomio a coefficienti razionali...
Praticamente a me rimane da dimostrare che se P(x) ha coefficienti razionali, P(x)^2 ha coefficienti interi==> P(x) ha coefficienti interi
Forse è banale ma continuo a non riuscirci xD
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Hai un polinomio $ p(x) \in \mathbb{Z}[x] $ tale che ha tutti gli zeri $ \alpha $ in $ \mathbb{C} $ con molteplicità pari (chiamiamoli $ 2r_{\alpha} $). Dato che per ipotesi tutte le radici sono algebriche, sia $ q_{\alpha}(x) \in \mathbb{Z}[x] $ il minimo polinomio di $ \alpha $, allora $ \sqrt{p(x)}=\displaystyle \prod_{p(\alpha)=0}{(x-\alpha)^{r_{\alpha}}}=\prod{q_{\alpha}(x)^{r_{\alpha}}} $ che è prodotto di polinomi a coefficienti interi
Ps. La tua dimostrazione non l'avevo letta xd
Ps. La tua dimostrazione non l'avevo letta xd
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Questo è davvero figo xD
Ma non capisco una parte (che è tra l'altro l'anima del tutto xD)... perchè vale l'ultima uguaglianza tra produttorie?
p.s. devo imparare un po ad usare sti diavolo di complessi...
Ma non capisco una parte (che è tra l'altro l'anima del tutto xD)... perchè vale l'ultima uguaglianza tra produttorie?
p.s. devo imparare un po ad usare sti diavolo di complessi...
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Detto in maniera informale, è vera perchè dato un polinomio irriducibile $ f(x) \in \mathbb{Z}[x] $ di grado >1, tutte le sue radici $ \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_{\text{deg}(f(x))} $ sono necessariamente non reali, "accoppiate" con i loro coniugati con loro stessa molteplicità; cioè preso $ \alpha_1 $ esso è algebrico, e se $ p(\alpha_1)=0 $ allora $ f(x) \mid p(x) $ (cioè ha anche tutte le altre radici sopra elencate), da qui l'uguaglianza..
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Jordan... puoi passarmi qualche link per capire xD
Conta che dei complessi conosco solo le basi che danno al senior (manco in modo troppo chiaro) e degli algebrici so solo la definizione xD
p.s. a me l'uguaglianza comunque appare falsa perchè la produttoria di sinistra ha tutti gli elementi di grado minore di quella a destra... puoi spiegarmi anche per mp se vuoi :)
Conta che dei complessi conosco solo le basi che danno al senior (manco in modo troppo chiaro) e degli algebrici so solo la definizione xD
p.s. a me l'uguaglianza comunque appare falsa perchè la produttoria di sinistra ha tutti gli elementi di grado minore di quella a destra... puoi spiegarmi anche per mp se vuoi :)
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Riguarda bene ciò che ho scritto, ogni polinomio irriducibile ha le proprie "uniche" radici complesse nel senso che non hanno "altri" polinomi minimi, quindi nella produttoria di sinistra possiamo raggruppare tutte le radici di polinomi minimi comuni, (e il grado alla fine è rispettato)..
Riguardo ai link, non ricordo libri seri dove ho studiato, ho solo letto qualcosa qua e là
Riguardo ai link, non ricordo libri seri dove ho studiato, ho solo letto qualcosa qua e là
The only goal of science is the honor of the human spirit.