numeri di bernoulli (definizione alternativa)

[maxpower]

Dimostrare che la validità dell'uguaglianza seguente per ogni intero positivo $ \displaystyle n $ definisce i numeri di Bernoulli $ B_0=1, B_1=-\frac{1}{2}, B_2=\frac{1}{6}, ... $:

$ \displaystyle \sum_{i_1+\ldots+i_n=n-1}\binom {n-1}{i_1,\ldots,i_n}B_{i_1} \ldots B_{i_n} = (-1)^{n-1}(n-1)! $

dove $ {i_1,\ldots,i_n} $ sono n-uple ordinate di interi non negativi.

Da questo dedurre una serie formale per l'inversa di $ \displaystyle\sum_{0\leq k}\frac{x^k}{k!} $

[kn]

E come li definisci i numeri di Bernoulli?

[maxpower]

Per nota di cronaca, i numeri di Bernoulli sono definiti come le derivate della funzione $ \frac{z}{e^z-1} $ in $ z=0 $, in modo che
$ \displaystyle \sum_{n=0}^\infty B_n \frac{z^n}{n!}=\frac{z}{e^z-1} $.

Insomma penso che la definizione usuale sia quella citata, o magari quella ricorsiva che ne consegue

$ \displaystyle \binom{n}{n-1}B_{n-1}+\binom{n}{n-2}B_{n-2}+...+\binom{n}{0}B_0=\delta_{n1} $