1) Chiaramente ogni n>2 può essere scritto come somma di un certo di numero
<BR>di naturali distinti. Sia A(n) la funzione che associa ad ogni n il massimo numero di numeri aventi somma n. Determinare A(n) (nel senso, una formula per A(n))
<BR>
<BR>2) Determinare tutte i primi p,q,r,s in modo che p+q+r+s sia primo e p^2 + qs , p^2 + qr siano entrambi quadrati.
Un po\' di problemi
Moderatore: tutor
3) determinare tutte le f tali che per ogni a,b con a>b esista c tale che
<BR> [f(c) - f(a)]/[a-c] = [f(a) - f(b)]/[a-b]
<BR> con c diverso da b e funzioni da R in R
<BR>
<BR>inventato da me, non è un granchè comunque.
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Azarus il 12-03-2003 23:17 ]
<BR> [f(c) - f(a)]/[a-c] = [f(a) - f(b)]/[a-b]
<BR> con c diverso da b e funzioni da R in R
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<BR>inventato da me, non è un granchè comunque.
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<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Azarus il 12-03-2003 23:17 ]
1) Prendiamo un numero A e siano ~n e~m rispettivamente un n-upla e un m-upla di numeri la cui somma è A. Visto che gli elementi di ~n e ~m devono essere distinti |~n|>=|~m| se gli elementi di ~n saranno <= di quelli di ~m.
<BR>Consideriamo ora l\'n-esimo numero triangolare t(n). Per quanto detto prima evidentemente A(t(n))=n. Prendiamo ora tutti gli i tali che t(n-1) < i < t(n). Visto che t(n)=1+2+3+...+n ogni i sarà nella forma t(n)-k con 1 <= k < n, e quindi per ogni i si avrà A(i)=A(t(n))-1=n-1.
<BR>
<BR>~p3~<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: pennywis3 il 12-03-2003 22:48 ]
<BR>Consideriamo ora l\'n-esimo numero triangolare t(n). Per quanto detto prima evidentemente A(t(n))=n. Prendiamo ora tutti gli i tali che t(n-1) < i < t(n). Visto che t(n)=1+2+3+...+n ogni i sarà nella forma t(n)-k con 1 <= k < n, e quindi per ogni i si avrà A(i)=A(t(n))-1=n-1.
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<BR>~p3~<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: pennywis3 il 12-03-2003 22:48 ]
ok, è vero, mangio i bambini, ma d\'altronde sono più teneri.... e poi voi per pasqua non mangiate tutti quei poveri agnellini?
Visto che la somma dei reciproci dei triangolari è vecchia [ .) ], me l\'ha proposta kayo oggi pomeriggio tra l\'altro, perchè non definire tale sequenza:
<BR>t_0(n)=SUM (1)
<BR>t_1(n)=SUM (t_0(i))
<BR>...
<BR>t_k(n)=SUM(t_(k-1)(i))
<BR>...
<BR>
<BR>E da ciò ricavare SUM (1/t_k(i)) ?
<BR>
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<BR>~p3~
<BR>t_0(n)=SUM (1)
<BR>t_1(n)=SUM (t_0(i))
<BR>...
<BR>t_k(n)=SUM(t_(k-1)(i))
<BR>...
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<BR>E da ciò ricavare SUM (1/t_k(i)) ?
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<BR>~p3~
ok, è vero, mangio i bambini, ma d\'altronde sono più teneri.... e poi voi per pasqua non mangiate tutti quei poveri agnellini?
Avrei una domandina... nel secondo, i primi DEVONO essere distinti? o possono essere uguali? se possono anche esserlo, io avrei trovato infinite soluzioni, e per di più abbastanza difficili (se non impossibili) da scrivere in forma concisa... altrimenti una sola soluzione.
<BR>
<BR>Ne avrei anche un\'altra... nel terzo c deve essere costante per ogni coppia (a,b)? Se è così la soluzione mi viene una funzione costante a piacere...
<BR>
<BR>Ne avrei anche un\'altra... nel terzo c deve essere costante per ogni coppia (a,b)? Se è così la soluzione mi viene una funzione costante a piacere...
beh, anche se non ho ancora avuto risposta alle mie domande, posto le mie pseudo-soluzioni, forse incomplete...
<BR>
<BR>2) se p²+qs e p²+qr sono entrambi quadrati, alla luce del fatto che sono entrambi maggiori di p², si ha che p²+qs = (p+x)² e p²+qr = (p+y)², da cui qs = x(2p+x) e qr = y(2p+y), per cui, visto che q,r e s sono primi, distinguiamo 5 casi (dopo averne esclusi alcuni per presenza di ovvi assurdi e altri per simmetrie, ma potrei averne considerati comunque alcuni di evuivalenti tra loro...):
<BR>a) x=1, 2p+x=qs, y=1, 2p+y=qr, ma questo porta alla conclusione che r=s, per cui va contro le ipotesi.
<BR>b) x=1, 2p+x=qs, y=q, 2p+y=r; r=2p+q, da cui q=r-2p, quindi qs=(r-2p)s=2p+1, da cui 2p(s-1)=rs+1. qs=2p+1, che è dispari, per cui r e s sono entrambi dispari.ma allora lo è anche q (perché q=r-2p). Ma allora, per avere p+q+r+s primo, per forza p deve essere pari, quindi p=2, ma allora qs=2p+1=5, che è un assurdo (5 è primo e quindi non può essere prodotto di due fattori primi, per di più distinti).
<BR>c) x=1, 2p+x=qs, y=r, 2p+y=q; quindi q ed s sono dispari, e quindi lo è anche r, ma allora p pari e si ricade nel caso precedente.
<BR>d) x=s, 2p+x=q, y=r, 2p+y=q; che porta r=s, quindi va contro le ipotesi.
<BR>e) x=s, 2p+x=q, y=q, 2p+y=r; da qui si ricava q=2p+s, e r=2p+q=4p+s. s,q ed r sono 3 membri consecutivi di una progressione aritmetica, per cui almeno uno dei tre è divisibile per 3. Quindi s=3. Ora, p+q+r+s = p+2p+3+4p+3+3=7p+9. Per essere primo, p=2, da cui (p,q,r,s)=(2,7,11,3), unica soluzione.
<BR>
<BR>
<BR>Il problemino posto da azarus: trovare sum.
<BR>t(i) = i(i+1)/2. i/t(i)=2/[i(i+1)] = 2[1/i-1/(i+1)].
<BR>sum = sum] = 2{sum-sum = 2{sum-sum} = 2*1/1 = 2
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<BR>2) se p²+qs e p²+qr sono entrambi quadrati, alla luce del fatto che sono entrambi maggiori di p², si ha che p²+qs = (p+x)² e p²+qr = (p+y)², da cui qs = x(2p+x) e qr = y(2p+y), per cui, visto che q,r e s sono primi, distinguiamo 5 casi (dopo averne esclusi alcuni per presenza di ovvi assurdi e altri per simmetrie, ma potrei averne considerati comunque alcuni di evuivalenti tra loro...):
<BR>a) x=1, 2p+x=qs, y=1, 2p+y=qr, ma questo porta alla conclusione che r=s, per cui va contro le ipotesi.
<BR>b) x=1, 2p+x=qs, y=q, 2p+y=r; r=2p+q, da cui q=r-2p, quindi qs=(r-2p)s=2p+1, da cui 2p(s-1)=rs+1. qs=2p+1, che è dispari, per cui r e s sono entrambi dispari.ma allora lo è anche q (perché q=r-2p). Ma allora, per avere p+q+r+s primo, per forza p deve essere pari, quindi p=2, ma allora qs=2p+1=5, che è un assurdo (5 è primo e quindi non può essere prodotto di due fattori primi, per di più distinti).
<BR>c) x=1, 2p+x=qs, y=r, 2p+y=q; quindi q ed s sono dispari, e quindi lo è anche r, ma allora p pari e si ricade nel caso precedente.
<BR>d) x=s, 2p+x=q, y=r, 2p+y=q; che porta r=s, quindi va contro le ipotesi.
<BR>e) x=s, 2p+x=q, y=q, 2p+y=r; da qui si ricava q=2p+s, e r=2p+q=4p+s. s,q ed r sono 3 membri consecutivi di una progressione aritmetica, per cui almeno uno dei tre è divisibile per 3. Quindi s=3. Ora, p+q+r+s = p+2p+3+4p+3+3=7p+9. Per essere primo, p=2, da cui (p,q,r,s)=(2,7,11,3), unica soluzione.
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<BR>Il problemino posto da azarus: trovare sum.
<BR>t(i) = i(i+1)/2. i/t(i)=2/[i(i+1)] = 2[1/i-1/(i+1)].
<BR>sum = sum] = 2{sum-sum = 2{sum-sum} = 2*1/1 = 2
No... io non credo che c debba essere costante per ogni coppia (a, b)...basta che esista. Andrebbe messa anche un altra condizione in quel problema: considerare un eventuale punto di tangenza come un punto doppio, altrimenti non torna niente.
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<BR>
<BR>~p3~
<BR>
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<BR>~p3~
ok, è vero, mangio i bambini, ma d\'altronde sono più teneri.... e poi voi per pasqua non mangiate tutti quei poveri agnellini?
