Serie infinite

[OriginalBBB]

Come si fa a dimostrare che una serie, o un gruppo di numeri di una data caratteristica è infinito?

[SkZ]

una serie di solito e' infinita per definizione. Data una successione $ $(a_n)_{n\in\mathbb{N}} $, una serie e' la successione $ $s_n=\sum_{i=0}^na_i $
la cosa interessante e' una successione non e' detto che sia infinita.

intendi dimostrare che un dato insieme (successione) di numeri e' infinito? Ovvero numerabile o piu' che numerabile?
A priori non c''e un modo univoco. I naturali sono infiniti per definizione dato che la somma di 2 suoi elementi appartiene ancora ad esso.
Interi e razionali sono numerabili e lo si dimostra partendo dai naturali

[Ani-sama]

una serie di solito e' infinita per definizione. [...] la cosa interessante e' una successione non e' detto che sia infinita.[...] I naturali sono infiniti per definizione dato che la somma di 2 suoi elementi appartiene ancora ad esso.

SkZ, scusami tanto, ma nel tuo post c'è una confusione atroce e un'accozzaglia di definizioni mal poste ed errate. Vedo di fare un po' di ordine, ma insomma, se devi scrivere qualcosa almeno accertati di scrivere cose giuste! (PS @SkZ: considera l'insieme degli interi modulo $ n $ con l'operazione di somma di classi di resto. Siamo d'accordo che ha $ n $ elementi, però la somma di due suoi elementi appartiene ancora ad esso.)

Una successione reale è una qualsiasi funzione $ f: \mathbb N \to \mathbb R $. Si noti che una successione, formalmente, non è dunque un insieme, bensì una funzione! Poi, come notazione, si scrive "sia $ \{a_n \} $ una successione"; può sembrare una notazione più adatta per un insieme (l'insieme degli elementi della successione), più che per una funzione, e in effetti è così. Però fare questa piccola confusione notazionistica non crea alcun problema. È importante comunque ricordarsi che una successione è una funzione, al di là di come la si rappresenta.

Data la definizione di successione, uno definisce il concetto di limite. Non sto a scriverlo qui, puoi trovarlo (fatto bene) in qualsiasi testo di analisi 1, oppure sulla Wikipedia inglese.

Una "serie" è, informalmente, una somma con infiniti termini. Uno si chiede: "come faccio a formalizzare l'idea intuitiva di somma di infiniti termini?" La risposta è: con le successioni e con i limiti. Uno parte da una successione $ \{ a_n\} $. Poi, a partire da questa, definisce una successione $ \{s_n \} $ detta "successione delle somme ridotte", in questo modo:

$ \displaystyle s_n = \sum_{k=1}^n a_k $.

A questo punto, la "serie" è definita come il limite delle somme parziali (sempre che esista!), e si scrive con la seguente notazione espressiva:

$ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n = \lim_{n \rightarrow +\infty} s_n = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^n a_k $

Ora, veniamo al problema dell'infinito. Parlerò di "infinito" in termini di "cardinalità di insiemi"; si badi bene che l'infinito di cui parlo qui è concettualmente diverso dall'infinito dei limiti e delle serie numeriche! Attenzione!

Anche qui, intuitivamente è chiaro il concetto, talmente intuitivo che... be', che in effetti la formalizzazione matematica potrà sembrare strana!

Un qualsiasi insieme $ A $ si dice infinito se può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio.

Questa è la definizione. Ad esempio, scopri che i naturali sono infiniti: infatti essi sono in corrispondenza biunivoca con (ad esempio) i numeri naturali pari. Nota che per ora ho dato solo la definizione di "infinito" senza distinguere "livelli di infinito" diversi. Quello è un passaggio successivo, e porta allo sviluppo di una teoria molto interessante.

Comunque, operativamente, per dimostrare che un insieme è infinito puoi fare in molti modi. Puoi senz'altro usare la definizione che ti ho scritto sopra, oppure puoi dimostrare che contiene un sottoinsieme numerabile (cioè che puoi mettere in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali).

[SkZ]

per la serie mi sono confuso con la successione delle somme parziali, sorry

wolfram dice:
http://mathworld.wolfram.com/Sequence.html
A sequence is an ordered set of mathematical objects

non avendo il DeMarco sottomano mi sono fidato di quello per la definizione. Cmq non avevo detto che era un insieme.

L'insieme modulo n l'avevo considerato, ma trascurato per semplicita' (e' ovvio che non ha infiniti termini).
Mi scuso se ho confuso le idee, ma volevo solo sapere che intendeva OriginalBBB e dare un esempio che si e' rivelato fallace.
In effetti era meglio usare l'insieme dei primi come esempio che ha un suo modo a parte che si basa sulla caratteristica degli elementi.
A proposito, un metodo e' dimostrare che l'insieme non ammette massimo/minimo? e se non ammette estremo superiore/inferiore?

[Ani-sama]

A proposito, un metodo e' dimostrare che l'insieme non ammette massimo/minimo? e se non ammette estremo superiore/inferiore?

Non credo. Cioè, per i sottoinsiemi dei naturali funziona, è chiaro che quelli infiniti sono quelli illimitati, ma non credo aiuti poi molto saperlo. Per i reali, ovviamente, non funziona: esistono senz'altro insiemi limitati ma infiniti. E comunque parlare di minimi ecc vale nel momento in cui consideri insiemi ordinati, quindi insiemi con struttura aggiuntiva, e non vale per insiemi in generale...

wolfram dice:
http://mathworld.wolfram.com/Sequence.html
A sequence is an ordered set of mathematical objects

Ah, beh, come definizione è equivalente, senz'altro!

[SkZ]

no, ho detto che se non ammette e' infinito, non che se lo ammette non e' infinito.
ad es l'insieme dei reali minori di 2 e maggiori di 0 non ammette massimo o minimo (pero' ammette estremo sup e inf e quindi mi sono risposto alla seconda domanda) ed e' infatti "infinito" ovvero piu' che numerabile. e' che non mi riecss ea trovare un controesempio: per questo ho chiesto
Mi e' venuto in mente per il fatto che la numerabilita' dell'insieme dei numeri primi si dimostra appunto con la negazione dell'esistenza di un massimo.

dato che OriginalBBB parla di insiemi di numeri, non e' un problema aggiungere l'ordianmento.

[Ani-sama]

Ah, d'accordo! Beh, per quanto riguarda insiemi totalmente ordinati è vero: se un sottoinsieme di un insieme totalmente ordinato è finito, allora sicuramente ammette massimo e minimo. Questo sì.

La dimostrazione dell'infinità dei primi passa per la non esistenza del massimo, perché per come sono fatti i numeri naturali, è chiaro che un sottoinsieme dei numeri naturali è finito se e solo se è limitato superiormente.

[Nonno Bassotto]

State discutendo tra di voi, ma ad occhio e croce non credo che l'OP usasse né la parola serie né la parola gruppo di numeri in senso matematico. Da come è formulata la domanda penso che intenda semplicemente un elenco di numeri (di una data caratteristica = definito da una certa proprietà), e, sì, la domanda è molto vaga.

[Tibor Gallai]

Domanda: come si fa a dimostrare che un insieme è infinito?
Risposta: si esibisce un suo sottoinsieme numerabile (cioè in bigezione con $ $\mathbb N $).

[Ani-sama]

Domanda: come si fa a dimostrare che un insieme è infinito?
Risposta: si esibisce un suo sottoinsieme numerabile (cioè in bigezione con $ $\mathbb N $).

Comunque, operativamente, per dimostrare che un insieme è infinito puoi fare in molti modi. Puoi senz'altro usare la definizione che ti ho scritto sopra, oppure puoi dimostrare che contiene un sottoinsieme numerabile (cioè che puoi mettere in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali).

[SkZ]

Ah, d'accordo! Beh, per quanto riguarda insiemi totalmente ordinati è vero: se un sottoinsieme di un insieme totalmente ordinato è finito, allora sicuramente ammette massimo e minimo. Questo sì.

gia' giusto!
Bastava negare

Forse Tibor intendeva che ci si e' persi molto in chiacchiere
incitava a risposte piu' concise.


ps: OP=Original Post?

[thematrix]

Opening Post, credo

[Tibor Gallai]

Forse Tibor intendeva che ci si e' persi molto in chiacchiere
incitava a risposte piu' concise.

No no, non avevo proprio letto la discussione...

[SkZ]

Troppo prolissi?
Cmq non sempre e' attuabile quel sistema. i numeri primi sono un buon esempio: secoli che ci provano a trovare una relazione biunivoca coi naturali che possa prevedere i primi
Anche solo con un suo sottoinsieme.

Ovvero, appunto non c'e' UN modo, ma dipende da che stai considerando.

[OriginalBBB]

Mi scuso per il disguido, ma matematicamente parlando è come se non conoscessi l'italianoo ancora. Sono contento sia nata una discussione simile, il vostro dialogo mi ha fatto capire cose che anche una spiegazione esauriente ma al di sopra delle mie comprensioni non poteva.

Capita spesso negli esercizi che siano date espressioni o siano definite degli insiemi o (dato che non possiedo ancora il linguaggio tecnico, dirò in termini non matematici) un gruppo di numeri di cui si chiede di trovare, per esempio, il minimo e di dimostrare se sono infiniti o no.

Mi parre comunque che il primo metodo, o quello più semplice, sia "collegare" l'insieme con n?