Questo l\'hanno dato in una qualche IMO ma è troppo bello... se già lo conoscete non scrivete la soluzione!
<BR>Sia A la somma delle cifre decimali di 4444^4444 e sia B la somma delle cifre decimali di A. Si determini la somma delle cifre decimali di B.
Problema
Moderatore: tutor
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publiosulpicio
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Il problema è proprio bello, soprattutto perchè, almeno per me, ha richiesto più tempo per capire come attaccarlo che per risolverlo poi praticamente. Se mi dici che la soluzione è 7, posto anche la dimostrazione!
<BR>O forse aspetto che si svegli anche qualcun altro... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>O forse aspetto che si svegli anche qualcun altro... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
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publiosulpicio
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Fede_HistPop
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Cià, che se no domani torna e non trova la risposta:
<BR>4444 congruo a 7 mod 9 e vediamo che
<BR>7^2 congruo a 4 mod 9
<BR>7^3 congruo a 1 mod 9
<BR>7^4 congruo a 7 mod 9 e così via
<BR>7^3k congruo a 1 mod9
<BR>7^(3k+1) congruo a 7 mod9
<BR>7^(3k+2) congruo a 4 mod9
<BR>e poichè 4444=1481*3+1 A mod 9=4444^4444 mod 9=(7)^(3k+1)=7=B
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>Com\'era la gita?
<BR>
<BR>4444 congruo a 7 mod 9 e vediamo che
<BR>7^2 congruo a 4 mod 9
<BR>7^3 congruo a 1 mod 9
<BR>7^4 congruo a 7 mod 9 e così via
<BR>7^3k congruo a 1 mod9
<BR>7^(3k+1) congruo a 7 mod9
<BR>7^(3k+2) congruo a 4 mod9
<BR>e poichè 4444=1481*3+1 A mod 9=4444^4444 mod 9=(7)^(3k+1)=7=B
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>Com\'era la gita?
<BR>
manca una parte consistente della soluzione!
<BR>è teorema noto e facilmente dimostrabile che N in mod 9 è congruo alla somma delle sue cifre.
<BR>dal fatto che 4444^4444 sia congruo a 9 sappiamo solo che il nostro risultato finale è congruo a 7, ma non che lo è!
<BR>ci basta allora dimostrare che il numero cercato è <= 15 per aver vinto.
<BR>per fare ciò usiamo un metodo figherrimo: 4444^4444 è \"approssimabile\" a 10000^5000 , numero di esattamente 20001 cifre, anche se per comodità di calcolo ne considereremo solo 20000. la somma massima delle cifre dei numeri sotto 20000 è 180000 (tutti 9 semplicemente).
<BR>dobbiamo allora cercare il naturale sotto 180000 con max somma delle cifre, che chiaramente è 99999 (non 179999 <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">)
<BR>la somma delle cifre è 45, e il numero con la massima somma delle cifre sotto 45 è 39, con somma 12.
<BR>addirittura abbiamo dimostrato che la somma delle cifre è sotto 12,
<BR>risultato più forte di quello che ci serviva, tra l\'altro.
<BR>Fatto.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Azarus il 13-03-2003 20:57 ]
<BR>è teorema noto e facilmente dimostrabile che N in mod 9 è congruo alla somma delle sue cifre.
<BR>dal fatto che 4444^4444 sia congruo a 9 sappiamo solo che il nostro risultato finale è congruo a 7, ma non che lo è!
<BR>ci basta allora dimostrare che il numero cercato è <= 15 per aver vinto.
<BR>per fare ciò usiamo un metodo figherrimo: 4444^4444 è \"approssimabile\" a 10000^5000 , numero di esattamente 20001 cifre, anche se per comodità di calcolo ne considereremo solo 20000. la somma massima delle cifre dei numeri sotto 20000 è 180000 (tutti 9 semplicemente).
<BR>dobbiamo allora cercare il naturale sotto 180000 con max somma delle cifre, che chiaramente è 99999 (non 179999 <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">)
<BR>la somma delle cifre è 45, e il numero con la massima somma delle cifre sotto 45 è 39, con somma 12.
<BR>addirittura abbiamo dimostrato che la somma delle cifre è sotto 12,
<BR>risultato più forte di quello che ci serviva, tra l\'altro.
<BR>Fatto.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Azarus il 13-03-2003 20:57 ]
Dunque, se volgiamo essere pignoli è vero, ma se ho ben interpretato il figherrimo come superlativo, questo aggettivo mi sembra mal attribuito: è assai più semplice dire che 4444^4444 avrà un numero di cifre minore di 4*4444=17776 e quindi A sarà minore di 9*17776=159984 e B sarà minore di 6*9=54, ma qualunque numero di due cifre minore di 78 che sia conrguo a 7 mod 9 ha come somma di cifre 7. Da ciò la risposta, se proprio volgliamo essere pignoli <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 14-03-2003 18:13 ]