problema abbastanza facile

Azarus · Messaggio da **Azarus** » 01 gen 1970, 01:33

non esistono soluzioni in Q:
 
 (a+b*sqrt(5))^4 + (c+d*sqrt(5))^4 = 2+sqrt(5)
 
 facile una volta trovato il principio che sta sotto

jack202 · Messaggio da **jack202** » 01 gen 1970, 01:33

Beh, non è proprio immediato...
 sviluppando e scindendo la parte
 razionale da quella irrazionale abbiamo
 
 <html><pre>
 
 [A]
 a^4 + 30a^2b^2 + 25b^4 +
 c^4 + 30c^2d^2 + 25d^4 = 2
 
 
 4a^3b + 20ab^3 + 4c^3d + 20cd^3 = 1
 
 dev\'essere quindi [A]-2 = 0
 Chiamiamo [C] il polinomio
 a^4 - 8a^3b + 30a^2b^2 - 40ab^3 + 25b^4
 
 Chiamiamo [D] il polinomio
 c^4 - 8c^3d + 30c^2d^2 - 40cd^3 + 25d^4
 
 la nostra condizione diviene [C]+[D] = 0
 Notiamo però che [C] può essere riscritto come
 
 (a-2b)^4 + b^2( 2(a-2b)^2 + 4a^2 + b^2 )
 
 essendo tutti i gli esponenti pari, avremo
 indubbiamente [C]>0 , e [C]=0 solo
 per {a=0 ; b=0}. Analogo discorso vale
 per [D]. La condizione
 
 [C]+[D] = 0
 
 è dunque verificata solo per
 a=b=c=d=0, uguaglianza che
 però invalida sia [A] che .
 
 La nostra equazione di partenza
 non ha dunque quaterne risolutive in Q.
 
 </pre></html>
 
 Seeya !
 
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Azarus · Messaggio da **Azarus** » 01 gen 1970, 01:33

c\'e una maniera molto più facile
 basta considerare questo:
 
 
 a + b sqrt(5) = 0
 se a,b razionali l\'unica soluzione è a=b=0
 tuttavia pure l\'equazione
 
 a - b sqrt(5) = 0
 ha come uniche soluzioni a=b=0
 
 quindi in ogni polinomio a variabili razionali e parametri reali
 posso sostituire davanti alla parte reale il più con il meno,
 dunque riscrivo
 
 (a - b sqrt(5))^4 + (c - d sqrt(5))^4 = 2 - sqrt(5)
 
 ma sqrt(5) è 2,236....
 dunque tornerebbe una somma di quadrati negativa
 ASSURDO
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Azarus il 2002-03-04 23:19 ]