Spartizione in tre parti di EF

[karlosson_sul_tetto]

Per un punto qualsiasi P sul lato AC del triangolo ABC passano due rette parallele alle mediane (del triangolo ABC ,ovviamente! ) AK e CL ,che intersecano BC in E e AB in F.Dimostrare che le mediane AK e CL dividono EF in tre parti uguali.
[sempre da kvant ]

Divertitevi.

[dario2994]

Piazzo un disegno per non dover definire i punti.
http://lh5.ggpht.com/_jdjHY9Ai12o/SziRJ ... omedio.jpg
Lemma 1) le mediane sono divise dal baricentro in 2 segmenti uno doppio dell'altro.
AF=A'F quindi per i parallelismi dati nel testo si ottiene che I è il baricentro di AA'P e PF è una mediana e quindi per il lemma 1 preso Q il punto medio di IP vale FI=IQ=QP. Con ragionamenti analoghi si ottiene EJ=JR=RP.
Si dimostra facilmente che i triangoli FMI,MON,NEJ,QRP,FEP sono simili o perchè hanno tutti i lati paralleli ho perchè hanno 2 lati in rapporto e un angolo congruente . Perchè siano congruenti quindi basta che abbiano un lato uguale. Per quanto analizzato precedentemente FI=QP e EJ=RP perciò vale FMI=QRP=NEJ. Inoltre però FE=3QR perciò vale per costruzione: MN=EF-FM-NE=3QR-2QR=QR. E questo chiude la dimostrazione perchè per le congruenze dimostrate si ottiene che FM=MN=NE che è la tesi.
Mi scuso se ho tralasciato alcuni particolari ma non mi andava di dilungarmi e le dimostrazioni di geometria sono sempre pallose da scrivere xD