Probabilità di un solitario
Probabilità di un solitario
Questo non è un problema di una gara di matematica, ma un problema che ho cercato di affrontare calcolando la probabilità di un solitario (in realtà decisamente stupido), pertanto non so quale sia il reale livello di difficoltà anche se non mi sembra banalissimo.
Il solitario, che si fa con un mazzo di 40 carte, consiste nel girare a turno una carta contando da 1 a 3 ripetutamente (1, 2, 3, 1, 2, 3 eccetera) fino a terminare le carte del mazzo. Tuttavia se quando si dice 1 si gira un Asso, quando si dice 2 un Due o quando si dice 3 un Tre si perde. Si vince invece quando si riesce a girare tutte le carte del mazzo.
Nel mazzo sono ovviamente presenti 4 Assi, 4 Due e 4 Tre.
Il solitario, che si fa con un mazzo di 40 carte, consiste nel girare a turno una carta contando da 1 a 3 ripetutamente (1, 2, 3, 1, 2, 3 eccetera) fino a terminare le carte del mazzo. Tuttavia se quando si dice 1 si gira un Asso, quando si dice 2 un Due o quando si dice 3 un Tre si perde. Si vince invece quando si riesce a girare tutte le carte del mazzo.
Nel mazzo sono ovviamente presenti 4 Assi, 4 Due e 4 Tre.
Il problema come dici anche tu è tutt'altro che banale... e io lo affronto da un pezzo senza grandi risultati... oggi finalmente forse ho trovato una soluzione ma è contosa:
Allora prima di tutto piazzo gli assi e vario i casi in base a quanti assi ci sono sulle caselle del 2:
$ [tex] $\displaystyle P=\sum_{i=0}^{4}{13\choose i}{13\choose 4-i}[/tex]
Con i modi di piazzare i 2 e i 3 con i caselle del 2 occupate.
Ora devo calcolare per fare questo uso lo stesso metodo di prima in base a quante caselle 1 occupo:
$ [tex] $\displaystyle =\sum_{k=0}^{4}{14\choose k}{13-4+i\choose 4-k}\{k,i\}[/tex]
Con {k,i} i modi di piazzare i 3 con k caselle 1 occupate e i caselle 2 occupate.
Solito modo per calcolare anche questo:
$ \displaystyle\{k,i\}=\sum_{z=0}^{4}{14-k\choose z}{13-i\choose 4-z} $
Ora unisco tutto ottenendo la comodissima espressione xD:
$ \displaystyle P=\sum_{i=0}^{4}{13\choose i}{13\choose 4-i}\left(\sum_{k=0}^{4}{14\choose k}{13-4+i\choose 4-k}\left(\sum_{z=0}^{4}{14-k\choose z}{13-i\choose 4-z}\right)\right) $
E questi sono i modi che vanno bene, quelli totali sono ovviamente:
$ T={40\choose 4}{36\choose 4}{32\choose 4} $
Ora il risultato cercato (a meno di errori) è P/T... appena ho tempo (penso subito o entro stasera) lo faccio calcolare al computer ;)
Allora prima di tutto piazzo gli assi e vario i casi in base a quanti assi ci sono sulle caselle del 2:
$ [tex] $\displaystyle P=\sum_{i=0}^{4}{13\choose i}{13\choose 4-i}[/tex]
Con i modi di piazzare i 2 e i 3 con i caselle del 2 occupate.
Ora devo calcolare per fare questo uso lo stesso metodo di prima in base a quante caselle 1 occupo:
$ [tex] $\displaystyle =\sum_{k=0}^{4}{14\choose k}{13-4+i\choose 4-k}\{k,i\}[/tex]
Con {k,i} i modi di piazzare i 3 con k caselle 1 occupate e i caselle 2 occupate.
Solito modo per calcolare anche questo:
$ \displaystyle\{k,i\}=\sum_{z=0}^{4}{14-k\choose z}{13-i\choose 4-z} $
Ora unisco tutto ottenendo la comodissima espressione xD:
$ \displaystyle P=\sum_{i=0}^{4}{13\choose i}{13\choose 4-i}\left(\sum_{k=0}^{4}{14\choose k}{13-4+i\choose 4-k}\left(\sum_{z=0}^{4}{14-k\choose z}{13-i\choose 4-z}\right)\right) $
E questi sono i modi che vanno bene, quelli totali sono ovviamente:
$ T={40\choose 4}{36\choose 4}{32\choose 4} $
Ora il risultato cercato (a meno di errori) è P/T... appena ho tempo (penso subito o entro stasera) lo faccio calcolare al computer ;)
Ho fatto svolgere i contacci a derive (e non è stato facile lo stesso) e fortunatamente viene un risultato che mi pare coerente: circa 0.8%
Per chi vuole vedere la frazione precisa eccola:
$ \frac{1124550557}{135373757400} $
In ogni caso vi metto anche il codice di derive:
E con questo ottenenete P
Per ottenere T:
Per chi vuole vedere la frazione precisa eccola:
$ \frac{1124550557}{135373757400} $
In ogni caso vi metto anche il codice di derive:
Codice: Seleziona tutto
f(a,b):=a!/b!/(a-b)!
g(k,i):=∑(f(14 - k, m)·f(13 - i, 4 - m), m, 0, 4)
h(i):=∑(f(14,k)·f(13-4+i, 4 - k)·g(k,i), k, 0, 4)
∑(f(13,i)·f(13, 4 - i)·h(i), i, 0, 4)
Per ottenere T:
Codice: Seleziona tutto
f(a,b):=a!/b!/(a-b)!
f(40,4)*f(36,4)*f(32,4)
Varie simulazioni mi fanno credere che il solitario si risolva con una probabilità prossima al $ 16\% $.
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
Ho fatto 100000 simulazioni... la probabilità è perfetta xD
0.835
È praticamente identica a quella frazione ;)
Ti metto il codice così lo vedi (è javascript ma si dovrebbe capire) :)
0.835
È praticamente identica a quella frazione ;)
Ti metto il codice così lo vedi (è javascript ma si dovrebbe capire) :)
Codice: Seleziona tutto
var carte=new Array();
for(var f=0;f<40;f++)carte[f]=f%10+1;
var res=0;
var n=100000;
for(var j=0;j<n;j++)
{
carte.randomize();
for(var k=0;k<40;k++)
{
if(carte[k]==(k%3)+1){k=100;}
}
if(k<50)res++;
}
alert(res/n*100);
Sì, avete ragione, scusate: avevo un bug nel mio programma dovuto a un copia-incolla sprovveduto.
Confermo il risultato: 1.000.000 simulazioni portano al valore di $ 0.837\% $.
Riporto il mio programma scritto in Mathematica:
Confermo il risultato: 1.000.000 simulazioni portano al valore di $ 0.837\% $.
Riporto il mio programma scritto in Mathematica:
Codice: Seleziona tutto
deck = Join[#, #, #, #] &@Range[10];
verify[deck_] :=
If[FreeQ[Mod[Position[deck, 1], 3], 1],
If[FreeQ[Mod[Position[deck, 2], 3], 2],
If[FreeQ[Mod[Position[deck, 3], 3], 0], 1], 0], 0]
Table[mixdeck = RandomSample[deck]; verify[mixdeck], {100000}];
Count[%, 1]/Length[%]
N[100 %]
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
Umby non fare il figo... soprattutto perchè toppi xD
Quello che sbagli è che consideri eventi non indipendenti... praticamente se una delle 12 carte "va nel posto giusto" la probabilità delle altre di andare nel posto giusto non rimane costante, ma sale o scende ;)
Infatti il tuo valore è considerabile una buona approssimazione ottenibile più che facilmente ma attraverso tutte le sommatorie che ho piazzato un paio di mesi fa (a riguardarle fanno paura) si ottiene la probabilità esatta che è circa 0.835 se non sbaglio ;)
Comunque buon tentativo :)
Quello che sbagli è che consideri eventi non indipendenti... praticamente se una delle 12 carte "va nel posto giusto" la probabilità delle altre di andare nel posto giusto non rimane costante, ma sale o scende ;)
Infatti il tuo valore è considerabile una buona approssimazione ottenibile più che facilmente ma attraverso tutte le sommatorie che ho piazzato un paio di mesi fa (a riguardarle fanno paura) si ottiene la probabilità esatta che è circa 0.835 se non sbaglio ;)
Comunque buon tentativo :)
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai