IMO 1981 - 5

[exodd]

Tre cerchi con lo stesso raggio si intersecano nel punto O e sono interni a un triangolo.
Ogni lato è tangente a due cerchi.
Dimostrare che l'incentro del triangolo, il circocentro del triangolo e il punto O sono allineati.

[TBPL]

Uso le notazioni dell'allegato, sperando siano chiare.

Step 1.Poiché $ O_1B_1=O_1C_2 $, ho che $ O_1 $ giace sulla bisettrice di $ \angle{A} $. Analogamente per $ O_2 $ e $ O_3 $, quindi le rette $ AO_1 $, $ BO_2 $ e $ CO_3 $ concorrono nell'incentro del triangolo, che chiamo $ $I $.
Step 2. $ O_1O_2\parallel AB $ e cicliche, in quanto le distanze da $ $AB $ di $ O_1 $ e $ O_2 $ sono uguali. Quindi esiste un'omotetia che manda $ O_1O_2O_3 $ in $ $ABC $ centrata nel punto in cui concorrono $ AO_1 $, $ BO_2 $ e $ CO_3 $, ossia in $ $I $
Step 3. $ $O $ è circocentro di $ O_1O_2O_3 $, in quanto è equidistante dai vertici. Quindi l'omotetia che manda $ O_1O_2O_3 $ in $ $ABC $ manda $ $O $ nel circocentro di $ $ABC $, che chiamo $ $O' $. Quindi $ $O' $ è l'immagine di $ $O $ rispetto a un'omotetia di centro $ $I $, quindi $ $I $,$ $O $ e $ $O' $ sono allineati.

[exodd]

perfetto