Mostrare che esistono infiniti interi positivi n tali che $ \varphi(n)<\varphi(n+1)<\varphi(n+2) $.
Prima che come solito qualcuno lo chieda, $ \varphi(\cdot) $ è la funzione di Eulero..
phi(n)<phi(n+1)<phi(n+2) -[parte 1]
phi(n)<phi(n+1)<phi(n+2) -[parte 1]
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Jordan, potresti confermare che la funzione del problema è la classica
$ $ \varphi(n) = \sum_{(n,k)=1 \atop k<n} 1 $
e che la tesi è vera?
Perchè a me sembra -forse sbaglio- che si possa dimostrare che valga $ ~ \varphi(2k) \leq \varphi(2k+1) $ definitivamente, in contraddizione con la tua richiesta...
$ $ \varphi(n) = \sum_{(n,k)=1 \atop k<n} 1 $
e che la tesi è vera?
Perchè a me sembra -forse sbaglio- che si possa dimostrare che valga $ ~ \varphi(2k) \leq \varphi(2k+1) $ definitivamente, in contraddizione con la tua richiesta...
Ultima modifica di Haile il 08 gen 2010, 19:15, modificato 1 volta in totale.
[i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.
[/i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.
[/i]
Se $ ~ n $ è dispari allora non può essere $ ~ \varphi(n)<\varphi(n+1) $, se $ ~n+1 $ è dispari non potrà essere $ ~ \varphi(n+1) < \varphi(n+2) $. Sempre che non abbia preso un grosso abbaglio...ndp15 ha scritto:Non capisco, perchè sarebbe in contraddizione?Haile ha scritto: Perchè a me sembra -forse sbaglio- che si possa dimostrare che valga $ ~ \varphi(2k) < \varphi(2k+1) $ definitivamente, in contraddizione con la tua richiesta...
[i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.
[/i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.
[/i]
Ah ok.
Si comunque pare falsa, non so se con l'uguale cambi o meno.
Se puo' interessare: http://www.research.att.com/~njas/sequences/b000010.txt
Si comunque pare falsa, non so se con l'uguale cambi o meno.
Se puo' interessare: http://www.research.att.com/~njas/sequences/b000010.txt
1- Che la funzione $ \varphi(\cdot) $ sia la funzione di Eulero già l'avevo scritto sotto..
2- Che la tesi è vera è ovvio, è il testo del problema
3- Quello che dici tu $ \varphi(2n)\le \varphi(2n+1) $ seppur fosse vera definitivamente non è in contraddizione con quanto richiesto..
4- In ogni caso "$ \varphi(2n)\le \varphi(2n+1) $ definitivamente" è falso
2- Che la tesi è vera è ovvio, è il testo del problema
3- Quello che dici tu $ \varphi(2n)\le \varphi(2n+1) $ seppur fosse vera definitivamente non è in contraddizione con quanto richiesto..
4- In ogni caso "$ \varphi(2n)\le \varphi(2n+1) $ definitivamente" è falso
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Grazie delle risposte (la -2 si poteva evitare... pensavo fosse chiaro che era solo un modo gentile di chiedere se per caso erano stati fatti errori di trascrizione del testo -a volte succede...-)
Stavo pensando a dove ho sbagliato; posso chiederti come sarebbe possibile dimostrare l'esistenza di un $ ~ n $ tale che $ ~ \varphi(2n) > \varphi(2n+1) $? -se ne hai voglia-.
Stavo pensando a dove ho sbagliato; posso chiederti come sarebbe possibile dimostrare l'esistenza di un $ ~ n $ tale che $ ~ \varphi(2n) > \varphi(2n+1) $? -se ne hai voglia-.
[i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.
[/i]
Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.
[/i]
jordan ha scritto: 4- In ogni caso "$ \varphi(2n)\le \varphi(2n+1) $ definitivamente" è falso
Io direi che $ \varphi(2n) $ può contenere al massimo n coprimi perchè non è coprimo con tutti i pari, mentre $ \varphi(2n+1) $ ha almeno n coprimi perchè è coprimo con tutti gli n pari già citati ed eventualmente con altri numeri...
Sbaglio?
Si. 14 e 21 ad esempio non sono coprimi. Due interi a e b si dicono coprimi o primi tra loro se e solo se il loro massimo comun divisore è 1.Dani92 ha scritto: Io direi che $ \varphi(2n) $ può contenere al massimo n coprimi perchè non è coprimo con tutti i pari, mentre $ \varphi(2n+1) $ ha almeno n coprimi perchè è coprimo con tutti gli n pari già citati ed eventualmente con altri numeri...
Sbaglio?
verissimo.... scusate la sparata! 
@Haile, non volevo essere scortese prima.. Riguardo la tua domanda, non è del tutto ovvia: più in generale, ponendo n=15k con k intero positivo, esiste almeno un intero k tale che $ \varphi(30k)>\varphi(30k+1) $? Con qualche semplice osservazione puoi vedere che, se la soluzione esiste, allora essa è molto grande: con computer alla mano puoi anche concludere che, se esiste, ha almeno 1000 cifre.. Eppur anche in questo caso (non mi addentro nella dimostrazione perchè è quasi il cuore del problema) una soluzione esiste (anzi, infinite..).
Con ciò spero saremo d'accordo sulla correttezza del testo (e anche che il segno di $ \Delta(\varphi(n)):=\varphi(2n)-\varphi(2n+1) $ non è definitivamente costante.. )
Con ciò spero saremo d'accordo sulla correttezza del testo (e anche che il segno di $ \Delta(\varphi(n)):=\varphi(2n)-\varphi(2n+1) $ non è definitivamente costante..
)The only goal of science is the honor of the human spirit.
CONGETTURA:
Al solito ordino i primi con $ p_1=2, p_2=3, p_3=5 ... $ e pongo $ n=\displaystyle\prod_{i=2}^k p_i $ con $ k>3 $.
Si ha $ \displaystyle \varphi (n)<\varphi (n+1)<\varphi (n+2) $.
IPOTESI DI DIMOSTRAZIONE:
Sfrutto il fatto che i primi che dividono $ n+1 $ sono, $ 2 $ escluso, maggiori di $ p_k $ e che $ n+2 $ è primo o scomponibile in primi maggiori di $ p_k $. Ricordo inoltre che $ \displaystyle{\varphi(n)=n\prod_{i=1}^{k} \left(1-\frac{1}{p_i}\right)} $ e (in qualche modo
) concludo.
Possibilità 1: Chi vuole provare se questa strada funziona? (Magari anche io ma non ora!)
Possibilità 2 (sicuramente più gettonata
): Chi vuole provare se questa strada non funziona?
Al solito ordino i primi con $ p_1=2, p_2=3, p_3=5 ... $ e pongo $ n=\displaystyle\prod_{i=2}^k p_i $ con $ k>3 $.
Si ha $ \displaystyle \varphi (n)<\varphi (n+1)<\varphi (n+2) $.
IPOTESI DI DIMOSTRAZIONE:
Sfrutto il fatto che i primi che dividono $ n+1 $ sono, $ 2 $ escluso, maggiori di $ p_k $ e che $ n+2 $ è primo o scomponibile in primi maggiori di $ p_k $. Ricordo inoltre che $ \displaystyle{\varphi(n)=n\prod_{i=1}^{k} \left(1-\frac{1}{p_i}\right)} $ e (in qualche modo
) concludo.Possibilità 1: Chi vuole provare se questa strada funziona? (Magari anche io ma non ora!)
Possibilità 2 (sicuramente più gettonata
): Chi vuole provare se questa strada non funziona?