Gli uomini e le bombette

[LukasEta]

E' una domanda elementare, ma se potete darmi una spiegazione efficace vi sarei molto grato (il 9 febbraio è vicino sigh)

Ci sono 10 uomini,ognuno dei quali ha una bombetta. Ognuno dei 10 uomini dona la sua bombetta ad un altro dei 10 uomini, casualmente. Qual è la probabilità che nessun uomo abbia più di una bombetta dopo gli scambi?

[Zorro_93]

I casi possibili sono $ 10^{10} $ perchè la prima bombetta può andare a 10 uomini, la seconda a 10 e così via, siccome queste azioni sono indipendenti si moltiplicano.
I casi favorevoli consistono nelle permutazioni delle bombette che sono $ 10! $, quindi la probabilità che nessun uomo abbia più di una bombetta, cioè che tutti ne abbiano una dovrebbe essere $ $\frac{10!}{10^{10}}$ $, che, per la cronaca è $ $\frac{567}{1562500}$ $

Concordi?

[LukasEta]

Concordo ! grazie mille

[dario2994]

Io avevo inteso il problema differentemente... cioè un uomo non può regalarsi una bombetta da solo... rimane facile ma almeno non banale :|

[Gogo Livorno]

Ci sono 10 uomini,ognuno dei quali ha una bombetta. Ognuno dei 10 uomini dona la sua bombetta ad un ALTRO dei 10 uomini

Attenzione!

[Zorro_93]

Dario ha ragione.
Provo a modificare:
-Casi possibili: $ $$9^{10}$$ $
-casi favorevoli: bisogna dare a ciascuno una bombetta diversa dalla propria, lo faccio in 9 modi col primo, in 8 col secondo... cioè in $ $9!$ $ modi

quindi la probabilità è $ $\frac{9!}{9^{10}}$ $

[Gogo Livorno]

Dario ha ragione.
Provo a modificare:
-Casi possibili: $ $$9^{10}$$ $
-casi favorevoli: bisogna dare a ciascuno una bombetta diversa dalla propria, lo faccio in 9 modi col primo, in 8 col secondo... cioè in $ $9!$ $ modi

quindi la probabilità è $ $\frac{9!}{9^{10}}$ $

ci stavo giusto ragionando, c'è un cavillo che non mi torna:
- Il primo la può dare a 9 persone
- Però chi l'ha ricevuta può anch'egli darla a 9 persone, in quanto può comunque averla data al primo!

sbaglio qualcosa?

[dario2994]

Zorro sbagli, Gogo... hai circa ragione...
Non vi scrivo come si fa così ci pensate È carino ed è un fatto che se uno ricava da sè non lo scorda più altrimenti a distanza di 2 ore non sa neanche com'era (non sto delirando, capirete poi )

[Zorro_93]

Non capisco:
ognuno può darla a 9 persone quindi ci sono $ $9^{10} $ casi possibili, fin qua ci sono o sbaglio?
assegno una bombetta a ciascuno (diversa da quella che aveva prima), 9! è sbagliato? perché?

Forse è una scemenza, ma un altro modo che mi viene in mente per contare i casi favorevoli è quella di contare prima le permutazioni di 10 elementi (senza badare se uno abbia o no la propria bombetta), poi contare le permutazioni quando uno abbia la propria bombetta, poi quando due abbiano... e così via. E poi usare il principio di inclusione-esclusione.

E' una grande cavolata o è gigantesca? Mi preparo all'esilio

[Zorro_93]

Sbaglio o si tratta di dismutazioni?

[Gogo Livorno]

Sbaglio o si tratta di dismutazioni?

penso proprio che i casi favorevoli si calcolino con quella formula lì, chiedo conferma a dario!

[Zorro_93]

Ho capito dove sbagliavo:
se davo una delle 9 bombette al primo potevo dargli anche quella del secondo, e così per il secondo non avrei avuto 8 possibilità, ma 9.

Sono sempre più convinto che utilizzare l'inclusione-esclusione sia la cosa giusta, cerco di proseguire su questa strada:

ho 10! permutazioni senza badare a niente, ho
$ $\binom{10}{1}*9!$ $ permutazioni di 10 oggetti con uno fisso e così via. In altre parole prendo le permutazioni generiche, tolgo quelle con un oggetto fisso eccetera...

Quindi ottengo $ $10! -\binom{10}{1}9!+\binom{10}{2}8!-\binom{10}{3}7!+\binom{10}{4}6!-\binom{10}{5}5!+\binom{10}{6}4!-\binom{10}{7}3!+\binom{10}{8}2!-\binom{10}{9}+\binom{10}{10}$ $

[Gogo Livorno]

invoco la conferma di dario ma anche secondo me è così.

[dario2994]

La mia conferma non l'ha mai chiesta nessuno...non sono un esperto xD
Comunque se ci tenete alla mia conferma ve la do... tutto giusto
A questo punto rilancio un poco:

BONUS: Se si considerano tutte le bombette uguali quante sono le possibili "situazioni finali"???

p.s. il bonus può tornare utile a Febbraio, ma soprattutto alla gara a squadre
p.p.s. so che è scritta in cileno la bonus question ma spero si colga il senso.

[Maioc92]

p.p.s. so che è scritta in cileno la bonus question ma spero si colga il senso.

Per chi non capisce lo spagnolo, ecco la frase tradotta in italiano:

Si considera que todos los jugadores por igual ya que es posible "estatuto final"??