Mi sto esercitando per l'imminente fase provinciale. Ho risolto questo quesito e poichè so (o così mi hanno riferito
) che saper scrivere una soluzione è di estrema importanza vorrei un parere sulla mia soluzione di questo quesito (è scritta bene? potevo scriverla meglio? è sbagliata? 
)Dunque
$ E'\; dato\; un\; triangolo $ $ $ ABC $, $ rettangolo\; in $ $ $ A $ $ e\; con $ $ $ AC $ $ cateto\; maggiore;\; sia\; $$ $M $ $ il\; punto\; medio\; di $ $ $ BC $, $ $ N $ $ il\; simmetrico\; di $ $ $ A $ $ rispetto\; a $ $ $ BC $, $ $ O $ $ l\; intersezione\; fra\; la\; perpendicolare\; ad $ $ $ MN $ $ passante\; per $ $ $ N $ $ e\; la\; retta\; contenente $ $ $ BC $.
$ a)\; Dimostrare\; che\; l\;angolo $ $ $ OMN $ $ è\; il\; doppio\; dell\;angolo $ $ $ ACB $.
$ b)\; Dimostrare\; che\; il\; rapporto\; fra\; le\; aree\; di $ $ $ MNO\; e\; ABC $ $ vale\; un\; quarto\; del\; rapporto\; fra\; le\; lunghezze\; di $$ $ BC\; e\; HM,\; dove\; H $ $ è\; il\; piede\; dell\;altezza\; relativa\; all\;ipotenusa\; di $ $ $ ABC $.
$ $ a) $
Si noti che l'angolo $ $ OMN \cong MAC+ACB $ poichè angolo esterno del triangolo $ AMC $ perciò dimostrare che $ $ OMN \cong 2ACB $ significa dimostrare che $ MAC \cong ACB $ ossia che $ AMC $ è isoscele sulla base $ $ AC $.
Essendo il punto $ $ N $ simmetrico del vertice $ $ A $ del triangolo $ $ ABC $ rispetto alla sua ipotenusa $ $ BC $ il triangolo che si forma $ $ NBC $ per costruzione è rettangolo e precisamente $ $ NBC \cong ABC $.
Dunque$ $ ABNC $ è un rettangolo e per tanto le sue diagonali sono congruenti quindi $ $ AN \cong BC $ e per tanto $ $ MA \cong MC \cong MN \cong MB $ poichè sono tutti la metà di una diagonale, ed in particolare si avrà$ $ MA \cong MC $ da cui $ $ AMC $ è isoscele sulla base $ $ AC $ e avrà $ $ MAC \cong ACB $ perchè angoli alla base. c.v.d
Per il secondo punto procedo trigonometricamente ù.ù
$ b) $
Voglio dimostrare che l'equazione $ $ \frac {A_M_N_O}{A_A_B_C} = \frac {1}{4} \frac {BC}{HM} $ è un identità.
Chiamo con $ $ K $ Il piede dell'altezza relativa alla base $ $ MO $ nel triangolo $ $ MNO $. Si noti che $ $ NK \cong AH $ poichè altezze relative alla stessa base nei triangoli congruenti $ ABC \cong BNC $ e che gli angoli $ $ BMA \cong NMO $ perchè opposti al vertice.
$ A_M_N_O = \frac {AH\; MO}{2} $ (devo scrivere perchè?O_o
)$ A_A_B_C = \frac {AH\; BC}{2} $
La relazione diventa $ $ \frac {MO}{BC} = \frac {1}{4} \frac {BC}{HM} $
Pongo l'angolo $ OMN = BMA = \alpha $
$ $ MO = \frac {MN}{\cos{\alpha}} $ relazione trigonometrica nel triangolo rettangolo $ $ NMO $.
$ $ BC = 2MN $ per costruzione.
$ $ HM = AM\; \cos \alpha = MN\; \cos \alpha $ relazione trigonometrica nel triangolo rettangolo $ $ HMA $
Sostituisco nella relazione $ $ \frac{\frac{MN}{\cos \alpha}}{2MN} = \frac {1}{4} \frac {2MN}{MN \cos \alpha} $ faccio le dovute semplificazioni ed ottengo un identità. c.v.d
