Equazione con le radici

[ngshya]

Determinare tutti i numeri interi $ $(a,~b,~c)$ $ con $ $c \le 100$ $ tali che $ $(a+\sqrt{c})^2+(b+\sqrt{c})^2=60+20 \sqrt{c}$ $.

Flanders Mathematical Olympiad 1994 - Final Round

Buon divertimento!

[ndp15]

Sviluppo i quadrati e con semplici passaggi algebrici ricavo:
$ \displaystyle \sqrt {c}=\frac {a^2+b^2+2c-60}{20-2a-2b} $
Poichè $ \displaystyle a,b,c $ interi, $ RHS $ è intero o razionale. Ma $ \sqrt {c} $ è irrazionale per ogni $ c $ intero non quadrato perfetto. Per cui $ c $ quadrato perfetto ed essendo $ c\le 100 $ per ipotesi, si ha $ \sqrt {c} $ intero compreso tra $ 0 $ e $ 10 $ (estremi inclusi).
Ora ritorno all'equazione originale e controllo (con un po' di calcoli, ma sempre una cosa fattibile) quali numeri del tipo $ 60+20k $ con $ 0\le k\le10 $ e $ k $ intero, sono somma di due quadrati; dai casi positivi ricavo facilmente il valore di $ \displystyle a $ e $ \displystyle b $.

La seconda parte della soluzione non è particolarmente elegante ma dovrebbe funzionare.
Qualcuno ha qualcosa di meglio?

[jordan]

Determinare tutti i numeri interi $ $(a,~b,~c)$ $ con $ $c \le 100$ $ tali che $ $(a+\sqrt{c})^2+(b+\sqrt{c})^2=60+20 \sqrt{c}$ $.

Flanders Mathematical Olympiad 1994 - Final Round

Buon divertimento!

Se $ c \in \mathbb{N} $ non è un quadrato perfetto allora possiamo lavorare in $ \mathbb{Z}[\sqrt{c}] $ ottenendo il sistema $ a+b=10 $ con $ a^2+b^2+2c=60 $ da cui $ c=5-(a-5)^2 \ge 0 $ (e ricordando che $ c $ non è un quadrato perfetto) rimane l'unica soluzione $ (a,b,c)=(5,5,5) $. Altrimenti esiste $ d \in \mathbb{N} $ tale che $ c=d^2 $. Quindi è verificata la relazione $ (a+d)^2+(b+d)^2=(2^2+0^2)(2^2+1^2)(d+3) $. Per cui $ d $ è soluzione se e solo se $ d+3 $ può essere espresso come somma di quadrati, cioè se e solo se $ 2\mid \upsilon_p(d+3) $ per ogni $ p \in\mathbb{P} $ tale che $ 4\mid p+1 $. Se il bound su $ c $ sarebbe stato più largo, sarebbe sufficiente considerare che ogni primo $ q $ tale che $ 4\mid q-1 $ si può esprimere in modo unico come somma di due quadrati (vedi l'identità di Jacobstal) e la chiusura rispetto al prodotto dei numeri della forma $ x^2+ky^2 $, cosicchè il problema sostanziale dell'algoritmo risiederebbe solo nella fattorizzazione di $ d+3 $. []

[ndp15]

Se il bound su $ c $ sarebbe stato più largo, sarebbe sufficiente considerare che ogni primo $ q $ tale che $ 4\mid q-1 $ si può esprimere in modo unico come somma di due quadrati (vedi l'identità di Jacobstal) e la chiusura rispetto al prodotto dei numeri della forma $ x^2+ky^2 $, cosicchè il problema sostanziale dell'algoritmo risiederebbe solo nella fattorizzazione di $ d+3 $. []

Mi potresti spiegare quest'ultima parte che non mi risulta chiara?
E grazie per avermi fatto notare che mi son perso banalmente una soluzione

[jordan]

Ogni primo $ p\equiv 1\pmod 4 $ è esprimibile in modo unico come somma di quadrati (E' stato più volte postato sul forum).
Inoltre se $ a $ e $ b $ sono espribili come somma di quadrati allora lo è anche $ ab $. Fin qui non ci dovrebbero essere problemi..
Ora,una volta che hai la fattorizzazione completa di $ d+3 $ sei d'accordo che adesso puoi trovare tutte le sue possibili espressioni come somma di due quadrati?

[ndp15]

Inoltre se $ a $ e $ b $ sono espribili come somma di quadrati allora lo è anche $ ab $.

Questo fatterello non lo conoscevo ( o non ci avevo mai pensato).
Ora dovrei aver capito. Grazie!

[jordan]

L'essere o meno esprimibile come somma di due quadrati dipende esclusivamente dalla fattorizzazione del'intero in questione (tutti gli esponenti dei primi con resto 3 modulo 4 devono essere pari); a patto di conoscere ciò è immediato che per il prodotto vale la stessa cosa