Frazioni egiziane

[amatrix92]

sono chiamate frazioni egiziane, quelle frazioni che hanno a numeratore 1 e al denominatore un intero qualsiasi.
La frazione 19/94 può essere espressa come somma di due di queste frazioni. Quali?

[karlosson_sul_tetto]

Spero di non aver detto una ca****a:
Prima di tutto vediamo che $ \frac{1}{5}=\frac{19}{95} \approx \frac{19}{94} $.Adesso, abbiamo: $ \frac{1}{5}+\frac{1}{x}=\frac{19}{94} $ e, passaggio per passaggio, abbiamo:
$ \frac{19}{94}-\frac{19}{95}=\frac{1}{x} $
$ \frac{19 \cdot 95}{94 \cdot 95}-\frac{19 \cdot 94}{95 \cdot 94}=\frac{1}{x} $
$ \frac{1805}{8930}-\frac{1786}{8930}=\frac{1}{x} $
$ \frac{1805-1786}{8930}=\frac{1}{x} $
$ \frac{19}{8930}=\frac{1}{x} $
$ \frac{19:19}{8930:19}=\frac{1}{x} $
$ \frac{1}{470}=\frac{1}{x} $
Quindi, risposta:
$ \frac{19}{94}=\frac{1}{5}+\frac{1}{470} $

Spero che vada bene...

[jordan]

Ok, adesso la domanda è: la soluzione è unica?

[Sonner]

Ok, adesso la domanda è: la soluzione è unica?

No, è soltanto la più "corta", anche se non penso si dica proprio così in maniera formale . Infatti, ad esempio, possiamo scrivere $ \displaystyle \frac{1}{5} = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{30} $. Questo perchè, in generale, vale $ \displaystyle \frac{1}{n} = \frac{1}{2n} + \frac{1}{3n} + \frac{1}{6n} $, o in forma più sintetica $ \displaystyle \frac{1}{n}= [2n, 3n, 6n] $. In questo modo si può procedere all'infinito.
Un altro modo di generare frazioni egizie è quello di sottrarre alla frazione di partenza una frazione unitaria minore della frazione inferiore che approssima meglio il numero iniziale. Scrivo un esempio (calcolato col computer) solo per chiarire la frase precedente (che penso non significhi granchè ):
$ \displaystyle \frac{19}{94} = \frac{1}{7} + \frac{39}{658} = \frac{1}{7} + \frac{1}{17}+ \frac{1}{2238} + \frac{1}{6258567} $.

Quindi, non so se l'ho provato o meno, ma per ogni frazione esistono infinite frazioni egizie .

[jordan]

Il testo richiede solo due addendi

[amatrix92]

Spero di non aver detto una ca****a:
Prima di tutto vediamo che $ \frac{1}{5}=\frac{19}{95} \approx \frac{19}{94} $.Adesso, poichè i numeri possono essere anche negativi, e abbiamo: $ \frac{1}{5}+\frac{1}{x}=\frac{19}{94} $ e, passaggio per passaggio, abbiamo:
$ \frac{19}{94}-\frac{19}{95}=\frac{1}{x} $
$ \frac{19 \cdot 95}{94 \cdot 95}-\frac{19 \cdot 94}{95 \cdot 94}=\frac{1}{x} $
$ \frac{1805}{8930}-\frac{1786}{8930}=\frac{1}{x} $
$ \frac{1805-1786}{8930}=\frac{1}{x} $
$ \frac{19}{8930}=\frac{1}{x} $
$ \frac{19:19}{8930:19}=\frac{1}{x} $
$ \frac{1}{470}=\frac{1}{x} $
Quindi, risposta:
$ \frac{19}{94}=\frac{1}{5}+\frac{1}{470} $

Spero che vada bene...

perfetto

[Spammowarrior]

Ok, adesso la domanda è: la soluzione è unica?

la risposta è sì.

si scrive la richiesta come:

$ \frac{1}x + \frac{1}y = \frac{19}{94} $ con x,y interi (positivi? poco importa, comunque, non influisce sulla dimostrazione)
$ \frac{1}y = \frac{19}{94} - \frac{1}x $
$ \frac{1}y = \frac{19x-94}{94x} $
$ y = \frac{94x}{19x-94} $

ma y è intero, quindi 19x-94 divide 94x.
si verifica che questo implica che 19x - 94 divida - x + 470 (**), che può essere possibile solo se 19x - 94 < - x + 470, x < 29

ripetendo lo stesso ragionamento per y risulterà anche y<29.

riscriviamo ora l'equazione iniziale e svolgiamo i calcoli
$ x+y = \frac{19xy}{94} $

94 = 2*47, ne consegue che 47 divide x o y. però sono entrambi minori di 29, quindi non esiste soluzione.

o meglio, l'unica soluzione me la sono persa nella (**), perchè ho detto una piccola bugia cioè è possibile solo se x<29 oppure se x-470 = 0.
di conseguenza x=470 può essere soluzione, ed effettivamente si verifica che (470;5) è soluzione (assieme alla sua simmetrica che però ai fini del problema risulta ininfluente)

[karlosson_sul_tetto]

Spero di non aver detto una ca****a:
Prima di tutto vediamo che $ \frac{1}{5}=\frac{19}{95} \approx \frac{19}{94} $.Adesso, poichè i numeri possono essere anche negativi, e abbiamo: $ \frac{1}{5}+\frac{1}{x}=\frac{19}{94} $ e, passaggio per passaggio, abbiamo:
$ \frac{19}{94}-\frac{19}{95}=\frac{1}{x} $
$ \frac{19 \cdot 95}{94 \cdot 95}-\frac{19 \cdot 94}{95 \cdot 94}=\frac{1}{x} $
$ \frac{1805}{8930}-\frac{1786}{8930}=\frac{1}{x} $
$ \frac{1805-1786}{8930}=\frac{1}{x} $
$ \frac{19}{8930}=\frac{1}{x} $
$ \frac{19:19}{8930:19}=\frac{1}{x} $
$ \frac{1}{470}=\frac{1}{x} $
Quindi, risposta:
$ \frac{19}{94}=\frac{1}{5}+\frac{1}{470} $

Spero che vada bene...

perfetto

Ah, finalmente non sbaglio un problema!