L'esercito degli orchi

[Bellaz]

Ciao a tutti,
propongo un esercizio tratto da una gara a squadre.. mi interessa il metodo per arrivare alla soluzione:
"Lo sterminato esercito degli orchi si avvicina alla Montagna Solitaria. Thorin nota che il numero di orchi è pari a $ x^2+x+7763 $ per un certo intero positivo x, mentre Bilbo, un altrettanto acuto osservatore, si accorge che tale numero vale $ 9y^2+12y+1954 $ per un certo intero positivo y. Qual è il più grande valore di y per cui questo è possibile?"

[ndp15]

Si ha che $ x^2+x-9y^2-12y+5809=0 $ per qualche $ (x,y) $ interi positivi. Risolvo la quadratica in $ \displaystyle x $ e in particolare noto che il delta deve essere un quadrato perfetto. Ma $ 36y^2+48y-23237 \equiv 3 \pmod 4 $ e 3 non è un residuo quadratico $ \pmod 4 $.

[dario2994]

y=1937
Un problema carino per essere di una gara a squadre... neanche troppo contoso.
Alur ndp15 hai toppato il calcolo del discriminante. Seguo il ragionamento di ndp15 solo che il discriminante viene:
$ $P(y)=36y^2+48y-23235 $
Allora... qui noto che è sicuramente minore di $ $(6y+4)^2 $.
Inoltre noto che $ Q(y)=P(y)-(6y+3)^2 $ è crescente.
Quindi se per a avessi Q(a)=0 allora per ogni y>a dovrei avere: $ $(6y+3)^2<P(y)<(6y+4)^2 $ e quindi P(y) non potrebbe essere un quadrato perchè compreso tra due quadrati consecutivi.
Se trovo quell'y tale che valga Q(y)=0 ho concluso perchè allora P(y) è un quadrato e con y maggiori non lo è più rendendo il discriminante irrazionale e così anche la x. Risolvo:
$ $P(y)-(6y+3)^2=12y-23244\Rightarrow y=1937 $
che è proprio la soluzione.
Scommetto che c'è una soluzione molto più rapida comunque.

[ndp15]

In effetti mi sembrava strano venisse senza soluzione, ma ricontrollare i calcoli era troppo dura
(Se sapessi fare i calcoli) credo avrei concluso come te, attento però che hai scritto male l'ultima relazione.

[ghilu]

La risposta è corretta, anche perché Tolkien pubblicò Il Signore degli Anelli nel 1954 e Lo Hobbit nel 1937. Piccola parentesi culturale.
La soluzione originale,mi sembra, era la seguente:
$ (4x^2+4x+1)-4(9y^2+12y+4)+23251=0 $
$ (6y+4)^2-(2x+1)^2=[6y+5+2x][6y-2x+3]=23251 $
Più è grande y, più lo sarà x. Il massimo è dunque con le due parentesi quadre pari, rispettivamente, a 23251 e 1.
$ \Rightarrow \ 12y+8=23252 $
E si ottiene dunque che la massimizzazione è quella

[Bellaz]

Bella questa soluzione.. mi piace molto!!

[ghilu]

E insegna anche che quando si ha un'equazione quadratica in x e y una delle cose da provare è "raggruppare i quadrati", facendo uscire una di queste situazioni:
$ (ax+by+c)^2+(dx+ey+f)^2=k $ che è un'ellisse nel piano xy;
$ (ax+by+c)^2-(dx+ey+f)^2=k $ che è un'iperbole;
$ (ax+by+c)^2=(dx+ey+f) $ che è una parabola.