altezza e incentro

[ghilu]

Prendasi ABC inscritto in $ \ \Gamma\ $, con altezza CH e incentro I.
Sia r la retta perpendicolare a CH passante per I.
Siano X e Y i punti medi rispettivamente degli archi AB e BC.

Si provi che l'intersezione fra XY e BC giace su r.[/tex]

[dario2994]

Woooooohhh... sono riuscito a risolvere un esercizio di geometria, non mi accadeva da tempo (penso sia la prima soluzione su questo forum che piazzo di un problema di geometria classico).

Prima di tutto noto che r sarebbe la parallela ad AB per I. Chiamo F il punto d'intersezione tra BC e XY se mostro che FI è parallela ad AB ho ovviamente finito... Sarò conciso, molto, tutti i passaggi derivano o da ciclicità o da angoli alla circonferenza o dalla somma degli angoli di un triangolo oppure dalla costruzione. Consiglio di sfruttare l'immagine che piazzo per capire i passaggi ;)

Lemma: YCIF è ciclico.
$ $ FCI=BCX=XCA=XYA=FYI\rightarrow\ YCIF\ è\ ciclico $

Considero FI e BA con trasversale XC se dimostro che FIX=CGA ho concluso perchè sono angoli alterni interni da cui deriverebbe che FI\\BA che è la tesi. Ecco la catena di uguaglianze che conclude:
$ $CGA=180-GCA-GAC=180-\frac{BCA}{2}-BAC=\frac{BCA}{2}+(180-BCA-BAC)=XCA+CBA=XYA+CYA=CYX=180-FIC=FIX $