4. Una giuria formata da 9 persone deve esprimere un verdetto di colpe-
volezza o innocenza. Supponendo che non siano ammesse astensioni e
che ciascun giurato voti indipendentemente e con probabilità 1/2 per
ciascuna delle due decisioni, si dica qual è la probabilità che al termine
della votazione un determinato giurato faccia parte della maggioranza.
Nel caso di una giuria composta da n persone, si dica per quali valori di
n la probabilità di far parte della maggioranza è maggiore di 1/2, uguale
a 1/2, minore di 1/2. (Nel caso in cui n = 2k sia pari, si intende che
un giurato appartiene alla maggioranza se la sua posizione ha ottenuto
almeno k + 1 voti.)
Io l'ho risolto è ho ottenuto p=1/2; e n=9 per p=1/2, n>9 per p>1/2 e n<9 per p<1/2.però non so se è giusto non avendo trovato i risultati; se serve posto la mia soluzione.
Cesenatico 1992
Cesenatico 1992
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
non sono riuscito a capire bene quanto ti sia venuto.
Io l'ho svolto così.
a) giuria di 9 persone.
prendiamo un giurato (alberto) a nostra scelta e facciamolo votare. ora dei restanti 8 giurati affinchè alberto si trovi nella maggioranza almeno 4 giurati devono votare come lui (i casi che lui voti per la colpevolezza o innocenza sono uguali) e. quindi tale probabilità è uguale a:
$ \binom{8}{4} + \binom {8}{5} +\binom{8}{6} + \binom {8}{7} + \binom{8}{8} $ tutto diviso $ 2^n $
andando a svolgere: $ \frac {90 + 56 + 28 + 8 + 1}{256} = \frac {183}{256} $
b) giuria di N persone, ponendo N=x+1. A questo punto divido in due casi: N pari, N dispari
b1) N=2k pari, X è dispari. Prendo sempre il povero alberto che dopo aver votato per trovarsi nella maggioranza deve sperare che altri K giurati (su 2K-1) votino come lui.
per la proprietà dei binomiali $ \binom {m}{h}= \binom {m}{m-h} $ ho che $ \binom{x}{x} +.... + \binom {x}{k + 1} +\binom{x}{k} = \binom {x}{0} +.... + \binom{x}{k-2} + \binom {x}{k-1} $
ma queste due non sono altro che le combinazioni per cui alberto si trovi nella maggiorana; e quelle per cui alberto si trovi fuori dalla maggioranza.
Da cui: 2P(maggioranza)=1
b2) N=2k +1, X è pari. Alberto (ormai stremato dalle votazioni
) deve, per stare nella maggioranza, sperare che almeno k (sui 2k rimanenti) giurati votino come lui. Qui possiamo usare lo stesso procedimento che abbiamo usato per N pari, ma poiche X=2k è pari $ \binom{2k}{k} $ lo conto due volte. quindi dire che la probabilità che alberto si trovi nella maggioranza è $ \frac {2^n + \binom {n}{\frac {n}2}}{2^{n + 1}} $(3)
considerando che $ \binom {n}{\frac{n}2} > 1 $ la (3) sarà sempre maggiore di $ \frac {1}2 $
Giusta?
P.s. non ho fatto tutti i passaggi algebrici per non riscrivere tutte quelle formule in latex
Io l'ho svolto così.
a) giuria di 9 persone.
prendiamo un giurato (alberto) a nostra scelta e facciamolo votare. ora dei restanti 8 giurati affinchè alberto si trovi nella maggioranza almeno 4 giurati devono votare come lui (i casi che lui voti per la colpevolezza o innocenza sono uguali) e. quindi tale probabilità è uguale a:
$ \binom{8}{4} + \binom {8}{5} +\binom{8}{6} + \binom {8}{7} + \binom{8}{8} $ tutto diviso $ 2^n $
andando a svolgere: $ \frac {90 + 56 + 28 + 8 + 1}{256} = \frac {183}{256} $
b) giuria di N persone, ponendo N=x+1. A questo punto divido in due casi: N pari, N dispari
b1) N=2k pari, X è dispari. Prendo sempre il povero alberto che dopo aver votato per trovarsi nella maggioranza deve sperare che altri K giurati (su 2K-1) votino come lui.
per la proprietà dei binomiali $ \binom {m}{h}= \binom {m}{m-h} $ ho che $ \binom{x}{x} +.... + \binom {x}{k + 1} +\binom{x}{k} = \binom {x}{0} +.... + \binom{x}{k-2} + \binom {x}{k-1} $
ma queste due non sono altro che le combinazioni per cui alberto si trovi nella maggiorana; e quelle per cui alberto si trovi fuori dalla maggioranza.
Da cui: 2P(maggioranza)=1
b2) N=2k +1, X è pari. Alberto (ormai stremato dalle votazioni
) deve, per stare nella maggioranza, sperare che almeno k (sui 2k rimanenti) giurati votino come lui. Qui possiamo usare lo stesso procedimento che abbiamo usato per N pari, ma poiche X=2k è pari $ \binom{2k}{k} $ lo conto due volte. quindi dire che la probabilità che alberto si trovi nella maggioranza è $ \frac {2^n + \binom {n}{\frac {n}2}}{2^{n + 1}} $(3)considerando che $ \binom {n}{\frac{n}2} > 1 $ la (3) sarà sempre maggiore di $ \frac {1}2 $
Giusta?
P.s. non ho fatto tutti i passaggi algebrici per non riscrivere tutte quelle formule in latex
mmm... come soluzione è interessante e dopo aver postato la mia mi metto in maniera più dettaglaita a vedere se ci sono errori (che con una lettura veloce non ho visto) perchè o io o te s'è sbagliato. (visto le soluzioni diverse ) io ho agito così:
la prima cosa che ho pensato è che una maggioranza si forma sempre. la maggioranza si può formare con 9 e 0, con 8 e 1, con 7 e 2 ..... con 0 e 9. Quindi faccio
$ \displysyle \sum_{i=0}^{9} \binom{9}{i}\cdot\frac{1}{2}^{10} $ dove $ \frac {1}{2}^{10} $ viene da $ p^i \cdot q^{9-i} $ che moltiplica ogni binomiale ma essendo $ p=q $ ho raccolto tutto. e da qui mi viene 1/2.
per quanto riguarda il secondo quesito ho semplicemtne fattto lo stesso procedimento con numeri maggiori di nove e ho visto che il risultato veniva maggiore, e con numeri minori di nove il risultato veniva minore.
) io ho agito così:la prima cosa che ho pensato è che una maggioranza si forma sempre. la maggioranza si può formare con 9 e 0, con 8 e 1, con 7 e 2 ..... con 0 e 9. Quindi faccio
$ \displysyle \sum_{i=0}^{9} \binom{9}{i}\cdot\frac{1}{2}^{10} $ dove $ \frac {1}{2}^{10} $ viene da $ p^i \cdot q^{9-i} $ che moltiplica ogni binomiale ma essendo $ p=q $ ho raccolto tutto. e da qui mi viene 1/2.
per quanto riguarda il secondo quesito ho semplicemtne fattto lo stesso procedimento con numeri maggiori di nove e ho visto che il risultato veniva maggiore, e con numeri minori di nove il risultato veniva minore.
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
azz... giusto 
.. mi ero limitato ai casi 8 e 10 
... per quanto riguarda il punto a) ?
.. mi ero limitato ai casi 8 e 10 ... per quanto riguarda il punto a) ?Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Ho svolto i conti anche io è viene 163......va corretto
<<Se avessi pensato (se pensassi) che la matematica è solo tecnica
e non anche cultura generale; solo calcolo e non anche filosofia,
cioè pensiero valido per tutti, non avrei fatto il matematico (non
continuerei a farlo)>> (Lucio Lombardo Radice, Istituzioni di
Algebra Astratta).
Mathforum
$ \displaystyle\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^s} $
e non anche cultura generale; solo calcolo e non anche filosofia,
cioè pensiero valido per tutti, non avrei fatto il matematico (non
continuerei a farlo)>> (Lucio Lombardo Radice, Istituzioni di
Algebra Astratta).
Mathforum
$ \displaystyle\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^s} $
90 + 56 = 146ngshya ha scritto:A me viene 163 al posto di 183...cromat ha scritto: ...
andando a svolgere: $ $\frac {90 + 56 + 28 + 8 + 1}{256} = \frac {183}{256}$ $
...
146+28=174
174+8=182
182+1=183
"Nessun maggior segno d'essere poco filosofo e poco savio, che volere savia e filosofica tutta la vita" G. Leopardi
L'errore sta nella prima combinazione:$ \binom {8}{4} $che deve risultare 70 invece che 90 
<<Se avessi pensato (se pensassi) che la matematica è solo tecnica
e non anche cultura generale; solo calcolo e non anche filosofia,
cioè pensiero valido per tutti, non avrei fatto il matematico (non
continuerei a farlo)>> (Lucio Lombardo Radice, Istituzioni di
Algebra Astratta).
Mathforum
$ \displaystyle\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^s} $
e non anche cultura generale; solo calcolo e non anche filosofia,
cioè pensiero valido per tutti, non avrei fatto il matematico (non
continuerei a farlo)>> (Lucio Lombardo Radice, Istituzioni di
Algebra Astratta).
Mathforum
$ \displaystyle\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^s} $
Re:
Non capisco bene questa parte...cromat ha scritto:b2) N=2k +1, X è pari. Alberto (ormai stremato dalle votazioni
considerando che $ \binom {n}{\frac{n}2} > 1 $ la (3) sarà sempre maggiore di $ \frac {1}2 $
E vorrei capirla perchè sto cercando di risolvere/raccogliere le soluzioni dei quesiti di quell'anno in modo da farne un unico pdf...
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)